Thứ Bảy, 17 tháng 8, 2019

Van der Corput Lemma

Let $k \geq 2$. Assume that $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is of class $C^k$ such that $\phi^{(k)}(x) \neq 0 \ \forall x \in [a,b]$. The goal of this blog-post is to prove the following inequality:
$$\left | \int_{a}^{b} e^{i\phi(x)} dx \right | \leq \frac{4^{k}}{\left( \text{inf}_{x \in [a,b]} \left | \phi^{(k)}(x) \right | \right)^{\frac{1}{k}}}$$
which is known as Van der Corput lemma in the field of harmonic analysis (The constant $4^k$ can be improved to be smaller).

Although we require $k\geq 2$ at the original inequality we should investigate the initial case, say, $k=1$. After that, we shall prove the desired inequality by a series of lemmas. We prove the case $k=2$ first by some lemmas and the general cases follow by induction.

Lemma $1$: Assume that $\phi \in C^2(\mathbb{R})$ is such that $\phi'(x) \neq 0 \ \forall x \in [a,b]$ then:
$$\left | \int_{a}^{b} e^{i\phi(x)} dx \right | \leq \frac{1}{\left | \phi'(b) \right|} + \frac{1}{\left | \phi'(a) \right| } + \int_{a}^{b} \left | \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{\phi'} \right) \right| dx$$
Proof: 
We use the identity:
$$e^{i\phi} = \frac{1}{i\phi'}\frac{d}{dx}(e^{i\phi})$$
and integrate by parts:
$$\int_a^b e^{i\phi(x)}dx = \frac{e^{i\phi(b)}}{i\phi'(b)} - \frac{e^{i\phi(a)}}{i\phi'(a)} + \int_a^b e^{i\phi} \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{i\phi'} \right)dx$$
Thus, after absolute both sides and estimate we do have the desired identity:

Corollary $2$: Assume that $\phi \in C^2(\mathbb{R})$ is such that $\phi'$ is an increasing (or decreasing) function and $\phi'(x) \ \forall x \in [a,b]$ then:
$$\left | \int_a^b e^{i\phi(x)}dx \right | \leq \frac{4}{\text{inf}_{x \in [a,b]} \left | \phi'(x) \right | }$$
Proof:
By lemma $1$ we see that:
$$\left | \int_{a}^{b} e^{i\phi(x)} dx \right |  \leq \frac{1}{\left | \phi'(b) \right|} + \frac{1}{\left | \phi'(a) \right| } + \int_{a}^{b} \left | \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{\phi} \right) \right| dx$$
but the hypothesis warrants us to dismiss the absolute value marks so:
$$\begin{align*}
\left | \int_{a}^{b} e^{i\phi(x)} dx \right | & \leq \frac{1}{\left | \phi'(b) \right|} + \frac{1}{\left | \phi'(a) \right| } + \int_{a}^{b} \frac{-\phi''}{(\phi')^2} dx  \\
&  \leq \frac{1}{\left | \phi'(b) \right|} + \frac{1}{\left | \phi'(a) \right| } + \frac{1}{\phi'(b)} - \frac{1}{\phi'(a)} \\
 &  \leq \frac{4}{\text{inf}_{x \in [a,b]} \left | \phi'(x) \right | }
\end{align*}$$
The following lemma is standard in any courses of real analysis and introduction of metric spaces.

Lemma $3$: The only connected sets in $\mathbb{R}$ under the usual metric is intervals of any types. In particular, path-connected sets are intervals as well. Even more, any convex set is an interval. 

Now we are given a function $\phi \in C^2(\mathbb{R})$ is such that $\phi''(x) > 0 \ \forall x \in [a,b]$ (remind that we can always assume $\phi''(x) > 0$ or $\phi''(x)$ since it is both nowhere-zero and continuous) then the following set is a closed interval:
$$J_{\alpha} = \left \{ x \in [a,b]: \left | \phi'(x) \right | \leq \alpha \right \} \ \forall \alpha > 0$$
Indeed, $J_{\alpha}$ is always closed since $\phi$, being in class $C^2$. We are going to prove $J_{\alpha}$ is convex. Suppose that $x, y \in J_{\alpha}$ then we need to show
$$tx + (1-t)y \in J_{\alpha} \ \forall t \in [0,1]$$
but we could assume $x \leq y$ so $x \leq tx + (1-t)y \leq y$. Besides that $\phi''(x) > 0$ so $\phi'$ is increasing. Thus,
$$-\alpha \leq \phi'(x) \leq \phi'(tx + (1-t)y) \leq \phi'(y) \leq \alpha \Rightarrow \left | \phi'(tx + (1-t)y) \right | \leq \alpha $$
The amazing part is the application of the simple above one (for simply, we write $J_{\alpha} = [a_{\alpha}, b_{\alpha}]$).

Lemma $4$: Under the hypothesis above, we do have:
$$\left | \int_a^b e^{i\phi} dx \right| \leq \frac{8}{\alpha} + \frac{2\alpha}{\text{inf}_{x \in [a,b]} \phi''(x)  } \ \forall \alpha > 0$$
Hence, by using AM-GM inequality we claim that:
$$\left | \int_a^b e^{i\phi} dx \right| \leq \frac{4^2}{\sqrt{\text{inf}_{x \in [a,b]}  \phi''(x) }}$$
(note that this is just marginally similar to the desired one since we have break down the absolute marks)
Proof:
We write:
$$\begin{align*}
\left | \int_{a}^b e^{i\phi}dx \right |  & = \left | \int_{a}^{a_{\alpha}} e^{i\phi}dx + \int_{a_{\alpha}}^{b_{\alpha}}e^{i\phi} dx + \int_{b_{\alpha}}^b e^{i \phi}dx  \right | \\
& \leq \frac{4}{\text{inf}_{x \in [a,a_{\alpha}]}  \left | \phi'(x) \right | } + \left | \int_{a_{\alpha}}^{b_{\alpha}} e^{i\phi}dx \right | + \frac{4}{\text{inf}_{x \in [b_{\alpha},b]} \left | \phi'(x) \right | } \\
& \leq \frac{8}{\alpha} + \text{sup}_{x \in [a_{\alpha}, b_{\alpha}]} \left |  e^{i\phi} \right | (b_{\alpha} - a_{\alpha}) \\
& \leq \frac{8}{\alpha} + \left | \frac{b_{\alpha} - a_{\alpha}}{\phi'(b_{\alpha}) - \phi'(a_{\alpha})}  \right | \left | \phi'(b_{\alpha}) - \phi'(a_{\alpha}) \right | \\
& \leq \frac{8}{\alpha} + \frac{1}{\left | \phi''(\lambda) \right | } 2\alpha  \ \text{(mean value theorem)} \\
& \leq \frac{8}{\alpha} + \frac{2\alpha}{\text{inf}_{x \in [a,b]} \phi''(x)  }
\end{align*}$$

Hence, by induction and precisely mimic the proof of lemma we establish the desired one:

Theorem $5$: Let $k \geq 2$. Assume that $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is of class $C^k$ such that $\phi^{(k)}(x) \neq 0 \ \forall x \in [a,b]$. Then we do have:
$$\left | \int_{a}^{b} e^{i\phi(x)} dx \right | \leq \frac{4^{k}}{\left( \text{inf}_{x \in [a,b]} \left | \phi^{(k)}(x) \right | \right)^{\frac{1}{k}}}$$

Proof:
The base case is when $k = 2$ has already proved. Thus, we assume $k \geq 2$ and the inequality is valid then we need to demonstrate the inequality when $k$ is replaced by $k+1$. As before, we assume $\phi^{(k+1)}(x) > 0 \ \forall x \in [a,b]$ (again, for otherwise it would contain a zero point).

Let allow the abuse of notation:
$$J_{\alpha} = \left \{ x \in [a,b]: \left | \phi^{(k)}(x) \right | \leq \alpha \right \}$$
then in paragraph between lemma $3$ and $4$ we replace $\phi$ by $\phi^{(k-1)}$ to obtain that $J_{\alpha}$ is still an interval, write, $[a_{\alpha},b_{\alpha}]$. The estimation is exactly same:
$$\begin{align*}
  \left | \int_a^b e^{i\phi}dx \right | & = \left | \int_a^{a_{\alpha}} e^{i\phi}dx + \int_{a_{\alpha}}^{b_{\alpha}} e^{i\phi}dx + \int_{b_{\alpha}}^b e^{i\phi}dx \right | \\
& \leq \frac{4^k}{\left( \text{inf}_{x \in [a,a_{\alpha}]} \left | \phi^{(k)}(x) \right | \right)^{\frac{1}{k}}} + (b_{\alpha} - a_{\alpha}) + \frac{4^k}{\left(\text{inf}_{x \in [b_{\alpha},b]} \left | \phi^{(k)}(x) \right | \right)^{\frac{1}{k}}} \\
& \leq \frac{2.4^k}{\alpha^{\frac{1}{k}}} + \left | \frac{b_{\alpha} - a_{\alpha}}{\phi^{(k)}(b_{\alpha}) - \phi^{(k)}(a_{\alpha})} \right | \left | \phi^{(k)}(b_{\alpha}) - \phi^{(k)}(a_{\alpha}) \right |  \\
& \leq \frac{2.4^k}{\alpha^{\frac{1}{k}}} + \frac{2\alpha}{\text{inf}_{x \in [a,b]} \left | \phi^{(k+1)}(x) \right | } \ \forall \alpha  > 0
\end{align*}$$
Particularly, when $\alpha = \left(\text{inf}_{x \in [a,b]} \left | \phi^{(k+1)}(x) \right | \right)^{\frac{k}{k+1}}$ we obtain the desired one.

References:

-   Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993.

Thứ Ba, 23 tháng 7, 2019

Tản mạn (2)

Mình có một anh bạn, đã từng sống rất hoạt bát nhưng đột nhiên sau khi vào đại học do vấn đề tình cảm nên cậu ta thay đổi tâm tính. Cậu ta chuyển sang đọc sách về chiến tranh, hiện tượng học, tập thiền, từ bỏ mạng xã hội, các mối quan hệ. Lần gần nhất mình nghe tin thì hay cậu ta sắp du học. Mình thầm vui cho cậu ấy. 

Điều khắc vào trí óc mình nhất trong lần cuối cùng mình liên lạc được cậu ta:"tớ đang cố gắng tập để thấy mọi thứ đều bình thường." Lúc đó mình hơi ngạc nhiên, tại sao lại phải cố bình thường hóa mọi thứ? Không phải cuộc sống này rất muôn màu muôn vẻ đó sao? Nếu cậu buồn vì một chuyện, thì còn bao nhiêu chuyện khác vui vẻ hơn cơ mà, rồi thời gian sẽ chữa lành cho cậu thôi. Đúng rồi, thời gian, hóa ra vấn đề là ở thời gian. Chúng ta sợ thời gian vì tất cả chúng ta là tạo vật của thời gian và luôn luôn đấu tranh chống lại kẻ cắp vội vàng đó. 


Giá mà thời gian đủ khả năng chữa lành mọi thứ như người ta nói. Nhưng không, thời gian vốn chỉ làm ta làm quen và lơ đãng với quá khứ. Thời gian vốn là tương đối, nó làm đời nhìn gần thì là bi kịch còn nhìn xa thì là hài kịch.

Mình luôn tưởng tượng đau khổ người ta mang trong tâm khảm như một dạng vật chất đặc biệt và thời gian giúp nó xây lên những vỏ bọc lóng lánh nhưng mỏng manh bên ngoài rồi ta cất nó vào một góc tâm hồn. Nó sống trọn tuổi đời ngắn ngủi của mình trong góc tối tăm đó, nhưng chỉ cần một tác động nhỏ là mọi thứ vỡ vụn, vỡ tan không còn gì cả; bày ra muôn vàn mảnh vỡ lấp lánh. Tới lúc đó ta mới cảm giác được sự bất lực của mình, ta đã tưởng ta mạnh mẽ nhưng không; hóa ra ta yếu đuối và cô độc, nghĩ khác đi có lẽ chỉ là ngụy biện. 

Hóa ra thời gian hay một lối sống khắc kỉ là cách người ta tự bảo vệ mình khỏi những điều không thể đoán trước. Kinh nghiệm ở đây mang lại cho người ta một cơ chế phòng thủ tự nhiên mạnh mẽ của con người. Với mình, lạc quan là một hình thức lòe bịp có kinh nghiệm. 

Trong những thời khắc mọi người hay chính mình bị bỏ rơi, mình luôn nghe được những lời an ủi hời hợt hoặc bỏ rơi. Nhưng trên tất cả mình ghét những lời an ủi vô thưởng vô phạt rằng thời gian sẽ chữa lành vết thương của bạn hay những câu hỏi đầy tính hoài nghi. Không, mình nghĩ con người trong bối cảnh u sầu đó đang giam mình trong bản thể tiêu cực tuyệt đối của họ, thời gian ngừng trôi và họ là trung tâm của vũ trụ. Mọi thứ không còn quan trọng nữa, thời gian ngừng trôi, nhiều người chết từ khoảng khắc đau khổ đó. Thà ta cứ bỏ mặc họ hoặc để sư im lặng bao trùm, im lặng đôi khi dòng nước mát xoa dịu đi những đau đớn kia. Im lặng là giao thức đặc biệt của tạo hóa mà nhiều người đã lãng quên. Hoặc là họ vượt qua và đạt được sự thanh lọc hoặc là họ bể nát ra, điều này mình không biết.

Trong vô số đau khổ của loài người thì có vô ái và vô dục, vốn không đủ khả năng giết người như vô vọng hay vô thường nhưng lại thường làm người ta sống không bằng chết. Suy nghĩ đủ lâu sẽ thấy vô vọng và vô thường vốn khó có thể đến từ vô ái và vô dục. Tình yêu của loài người bung ra từ đau khổ như trí tuệ sinh ra từ bất hạnh. Tình yêu sinh ra từ đau khổ vốn bị che giấu bởi quá nhiều đau khổ và những cái thở dài. Có quá nhiều dằn vặt, cố gắng, từ bỏ và lo lắng trong mỗi tình yêu và cả sự nhẫn nại vô hạn. Kể cả sau quá nhiều cùng cực ta vẫn chỉ biết cách tha thứ, chấp nhận và biện minh cho dòng máu nóng đang sôi sục trong ta. Ta vốn không biết bao giờ kẻ làm tình với ta hôm nay chia lìa với ta vào ngày mai. Tình yêu vốn mong manh như sợi chỉ đỏ. Tình yêu như con ác thú được ta nuôi bằng hy vọng và ảo mộng. Đau rồi, khổ rồi, nhưng nó vẫn làm ta đau đớn quá.  Bất kể ta tốt ra sao, bình dị ra sao, cố gắng ra sao, dấn thân ra sao thì không có gì đảm bảo người ta yêu sẽ ở lại với ta. Ta ước người ấy trao trái tim cho ta như cách ta trao cho họ; ta ước giá như, nhưng giá như lúc nào cũng muộn màng. Ta đã tin sau tất cả mình xứng đáng nhận được nhiều hơn nhưng ta không biết mọi sự kiện có tính độc lập của nó. Dù cho ta nguyền rủa ra sao, nhưng trong thâm tâm ta vẫn mưu cầu tình yêu, cô đơn như vậy trở thành bài học đầu tiên trước khi cần học yêu. 

Hoàn toàn không có đấng tối cao nào có thời gian để chú ý đến ta. Trong trường hợp này, mình nghĩ ai cũng có thể vứt đi cái gọi là hi vọng. Nói cách khác, ta phải trở thành Don Juan; ta rất biết và không hy vọng. Ta vứt bỏ tất cả những mơ mộng đẹp đẽ đó để đi về nơi ta đã từng là hai người lạ. Ôi, đột nhiên, chúng ta lại là hai người lạ một lần nữa.


Tình yêu nên là một hàm trên tập compact lấy giá trị là thời gian.

Đôi khi mình muốn chạy tới một bờ vực xanh ngát kia ngắm những núi non hùng vĩ, nhưng ta chả dám chắc mình sẽ đủ can đảm hét lên; như có thứ đờm đặc lâu ngày chắn trong cổ họng, mình thấy mình bất lực đứng nhìn thế giới. Hay trong những buổi chiều hè này mình muốn trải nghiệm cảm xúc của niềm vui thú lạ kì khi từ bỏ chính mình để cảm nhận mà không có bất kì suy nghĩ đặc biệt nào và khi những thông cáo của sự thanh thản vĩnh cửu mang lại cho mình một sự bình yên lạ thường trong tâm hồn. Hoặc mình có nên vùi những giọt nước mắt của chính mình trên cát biển để nó lặn xuống sự cô đơn tuyệt đối? Nhưng mình nhận ra mình không khóc, chúng ta yếu đuối nhưng không phải ai cũng khóc, vì nước mắt sẽ biến thành những suy nghĩ và suy nghĩ thì cay đắng như nước biển vậy. 


Sở dĩ người ta đau khổ vì người ta mãi đeo đuổi những thứ sai lầm. 

Gần đây mình hay gặp mấy giấc mơ lạ, đó vốn không phải vị trí của chúng. 

Thứ Hai, 22 tháng 7, 2019

Tản mạn

Từ lúc sinh thời chúng ta đã mang trong mình một cảm giác cô đơn xa lạ với thế giới này. Từ thời điểm đầu tiên của cuộc đời, chúng ta khóc, mọi người cười. Nốt quãng đời còn lại, chúng ta khóc một mình. Ai lại nỡ hạ sinh ra ta để ta phải chịu đựng những đau khổ này? Và từ khoảnh khắc đó cuộc sống cứ luôn duy trì trong trạng thái đơn điệu và thuần túy như vậy. Cuộc sống không khác gì một cuộc chạy marathon đường dài với các đặc tính đơn điệu, mệt mỏi và buồn chán. Con người, dù chán ngán vô cùng vẫn phải sống tiếp, sống nốt cuộc đời này với cái phi lý mang trong mình.

Nhưng cái gì cứu rỗi chúng ta đây?

Từ lúc lọt lòng, chúng ta luôn được trong vòng tay ôm ấp của của bố mẹ. Lớn lên một chút, chúng ta vẫn được chăm bẵm yêu thương. Xung quanh ta ngoài bố mẹ ông bà còn có họ hàng người thân và có thể là đám trẻ con hàng xóm nữa. Lớn thêm chút nữa, ta đi học vào cấp 1, cấp 2, cấp 3, lúc này ta bớt giao thiệp với họ hàng một chút nhưng bù ta lại có nhiều bạn bè hơn. Có người thì tìm được tình yêu đầu đời của mình, tin rằng đó là tình yêu vĩnh cửu; bao nhiêu mơ mộng suy tư rõ ràng hiện ra dưới đầu óc giàu trí tưởng tượng của ta. Dưới tán bàng hay phượng đỏ rực vào mùa hè hay những hôm đạp xe trên những bờ đê cao xanh ngát, chúng ta đã từng mơ mộng hoặc thề thốt điên rồ tới như thế rằng chúng ta sẽ luôn bên nhau lúc khó khăn nhé. Buổi tan trường, trong chúng ta, người thì xa gia đình, kẻ thì xa bạn bè. Xa mặt cách lòng, có mấy khi chúng ta gọi cho nhau, gọi cho gia đình. Những lời thề thốt đó rốt cuộc đành để người khác hoàn thành, dù là bạn bè hay tình yêu.

Có lúc ta biết về họ thì người đã bệnh, người đã bỏ học, dăm ba người điên vì tình, dăm ba người đã đi lao động phương xa, ... Sợ phiền họ ư? - Đúng, đó là một trong những câu trả lời. Ta sợ bạn bè bận, sợ bố mẹ ở nhà lo lắng thì sao. Đó là cảm giác cô đơn cay đắng đầu tiên ta nếm trong đời. Lắm lúc ta cũng muốn nhấc máy lên thường để muốn kiếm một người trò chuyện, nhưng khi dò danh bạ, số điện thoại có nhiều không? Nếu đầy rẫy, cuối cùng ta gọi cho ai đây? Tình cảm nguội dần, kỉ niệm tan biến theo thời gian. Thời gian cuốn trôi đi tất cả, không đợi chờ ai, lâu cũng thành thói quen.

Thật may đã có facebook, chúng ta tưởng mình đang được kết nối, khi friendlist của ta dài ra từng ngày. Chúng ta say sưa với ảo tưởng nắm bắt được cảm xúc của những người quen ở nơi xa xôi nào đó, thậm chí cả người xa lạ, hay người thân quen. Nhưng cùng lúc đó, chúng ta đang mất dần kết nối với nhau. Chúng ta mất kết nối với nhau vì không biết sau khi box chat đóng lại, bao giờ chúng ta mới được gặp nhau? Bao giờ ta lại nhắn tiếp cho nhau? Cái tôi quá lớn hay người ta đã có thú vui khác rồi? Ta không biết, ta càng suy đoán càng buồn bã đến nỗi ta tự nhấn chìm bản thân trong cô đơn và tự thưởng thức nó. Hóa ra đó cũng không phải cách.

Sau này, vì công việc, ta khó liên lạc nhau lắm. Vẫn là do bận thôi. Chúng ta muốn tìm một người bầu bạn lắm, muốn có người ra cafe ngồi xuống, tắt hết những thứ công nghệ mệt mỏi kia đi, thật sự nói cho nhau những khó khăn trong cuộc sống.

Sau này, vì công việc, vì những thứ chết dẫm của thời đại này. Chúng ta cũng có một người yêu, một thứ trang sức thời hiện đại mà đôi khi chúng ta càng đeo càng chết đi trong lòng một ít. Chúng ta luôn có một người đi cùng nhưng trong lòng thì luôn trống rỗng, chúng ta đơn giản chỉ muốn có người bên cạnh mà thôi. Hoặc lắm lúc ta thấy xa lạ với chính người mình yêu thương, hay người mình từng yêu thương. Lắm lúc, ta thèm được ở một mình, chỉ vậy thôi.

Ôi hoặc lạy trời cho ta một người ngồi bên cạnh thôi cũng được, đâu nhất thiết phải nói chuyện hay làm tình đâu. Nhưng kể cả sau tất cả những điều ấy, ta không chết. Con người có một bản năng sinh tồn mạnh mẽ đến kì lạ. Vô ái hay vô dục không làm ta chết được. Chỉ có vô thường và vô vọng mới giết chết chúng ta.

Rồi ta ngồi đây, gặm nhấm nỗi cô đơn này và ta nhận ra có những ngày ngay cả cô đơn cũng bỏ ta mà đi, lúc đó ta mới hiểu trọn vẹn thế nào là cô độc. Ta đập tan sự thinh lặng trong đêm tối này bằng những bản nhạc và những vì sao. Lần đầu tiên ta để ý tới thiên nhiên quanh ta, hóa ra nó luôn ở đây theo dõi ta. Ta nhận ra vẻ hùng vĩ của nó, ta cảm nhận được vẻ đẹp sống động ấy. Nhưng cũng có ngày ta nhận ra mình là kẻ xa lạ trong thế giới này, trong vũ trụ của chính ta. Ta nhận ra cốt lõi của mọi vẻ đẹp đều mang một cái gì đó phi nhân tính. Vì sao kia, hòn đá này, ... chúng đẹp đâu phải do chúng ta. Một lần nữa, ta lại cô độc.



Người ta thường nói rằng lao đầu vào công việc là quên đi nỗi buồn, quên đi những vụ thất tình, quên đi những xung đột gia đình, ... nhất định phải có được thứ mình thích, rồi thì tình yêu sẽ tự tìm đến. Người ta đã dựa dẫm vào một thứ không tự thân và cái người ta nhận được cũng sẽ là cái không thật. Chúng ta vẽ vời ra viễn cảnh tương lai đẹp đẽ đang đợi chờ mình. Nhưng than ơi, như trong chính cuộc đời này, những dự định tốt nhất thường đổ bể, những giấc mơ đẹp nhất thường không thành. Kể cả vậy, trong thời kì xung mãn nhất của một người, người ta có thể có tiền tài, địa vị, danh vọng, tài năng, gia đình ,... làm sao người ta dám chắc mình không bị trói buộc trong cảm giác lo âu thường trực, cảm giấc bất mãn mơ hồ không thể giũ sạch hoặc khuây khỏa? Làm sao người ta chắc rằng ngay thời điểm đó mặt đất không sụp đổ và mình không sống tiếp.

Đến một ngày, nếu tát cả các lý do hiện tại - đạo đức, mỹ học, tôn giáo, xã hội, ... - không còn dẫn lối cuộc đời ta, làm thế nào ta có thể sống tiếp mà không quỵ ngã trước hư vô. Ta cô độc đến nỗi ta phải tự hỏi bản thân rằng trên thế giới này còn gì ngoài ta, cái chết và hư vô. Chúng ta nhận ra hóa ra những điều người ta dạy mình chỉ là bức màn phông cảnh trí đẹp đẽ kia thôi và chúng ta chỉ vừa mới vô tình hạ nó xuống. Vở kịch chấm dứt từ khoảnh khắc này và ta lại là chính ta còn thiên nhiên là chính nó và đang trượt xa ta hàng thế kỉ. Ta thấy lẻ loi đơn độc và sống trong cảm giác tuyệt đối đó, ta thấy thời gian ngừng trôi và trong khoảng khắc mình là trung tâm của vũ trụ. Ta đâu thấy gì ngoài cái chân đau của mình, ta quên tất thảy những đau khổ trên thế giới này để sống với nỗi đau khổ của riêng ta. Ta mong chờ một cái vỗ vai, một cái ôm nhưng không; chẳng có gì ngoài ta và căn phòng này. Câu hỏi:"bao giờ tôi nổ tung đây?" từ đó mãi hiện hữu âm thầm trong đầu chúng ta.

Nhân thế là một chặng đường dài, rồi một ngày nào đó chợt nhận ra kiếp nhân sinh cũng chỉ là hư không.

Chủ Nhật, 21 tháng 7, 2019

Thế giới và Tôi - On the Heights of Despair

Tôi tồn tại: nên thế giới vô nghĩa. Ý nghĩa nào nơi đó trong sự đau khổ bi thảm của người mà mọi thứ đột nhiên hóa thinh không và luật lệ duy nhất trên đời này là đau đớn thể xác? Nếu thế giới dung túng cho một người như tôi, điều đó có nghĩa là những vết đen trên tôi, thứ gọi là mặt trời của sự sống là quá lớn mà theo thời gian chúng sẽ che lấp chính ánh sáng của chúng. Sự tàn bạo của cuộc sống trà đạp tôi dưới gót chân và áp bức tôi, cắt đôi cánh của tôi trong chuyến bay đầu đủ (full flight) và đánh cắp niềm vui chính đáng của tôi. (câu này dịch hoàn toàn bằng chụy gồ vì hay quá, hihi)

Sự sốt sắng nhiệt thành (enthusiastic zeal) và niềm đam mê điên rồ tôi cho vào (I put into) trở thành cá thể thông minh, sự quyến rũ quái quỉ mà tôi chấp nhận để với được một hào quang trong tương lai, năng lượng mà tôi dùng vào hữu cơ (I spent on an organic), hào nhoáng, nội tái sinh (inner rebirth) tất cả tỏ ra yếu đuối hơn sự dã man và bất hợp lý của thế giới này, đổ vào tôi cái dự trữ tiêu cực và thuốc độc của nó. (its reserves of negativity and poison) Sự sống là bất khả ở nhiệt độ cao. Đó là lý do tại sao tôi đi tới kết luận rằng những người đau khổ, sự năng động nội tâm với tới paroxysm, hoặc những ai không thể chấp nhận nhiệt độ bình thường, chịu phán quyết của sự sụp đổ. Sự suy tàn của những người sống một đời bất thường là một diện mạo của quỷ học (bỏ từ life trong life's demonism), nhưng cũng thể hiện sự thiếu thốn của nó, điều đó giải thích lý do tại sao cuộc sống là đặc quyền của những kẻ tầm thường. Chỉ những kẻ tầm thường sống ở nhiệt độ bình thường của cuộc sống; những kẻ khác tiều tụy ở nhiệt độ mà sự sống không thể chịu đựng (life cannot endure), nơi mà họ thở thều thào, hầu như đã chạm một chân tới bờ bên kia của sự sống. Tôi không thể đóng góp gì cho thế giới này vì tôi chỉ có một phương pháp: đau đớn tột cùng của thể xác. Bạn than phiền về việc người ta xấu tính, hay thù hằn, vô ơn và đạo đức giả. Tôi đưa bạn phương pháp này để bạn tự thoát ra khỏi tất cả sự không hoàn hảo đó. Áp dụng nó cho mọi thế hệ và nó sẽ sớm chứng minh tính đúng đắn của mình. Có lẽ theo cách này tôi cũng có thể trở nên hữu ích với loài người!

Đưa một người tới thời khắc đau đớn cuối cùng của cuộc sống bằng roi da, lửa, kim tiêm  hoặc thông qua một sự tra tấn kinh khủng rồi anh ta sẽ trải nghiệm sự thanh lọc tuyệt vời được ban cho bởi sự chết. Sau đó giải thoát anh ta và để anh ta chạy đi trong sợ hãi tới chừng nào anh ta ngã quỵ vì kiệt sức. Tôi đảm bảo với bạn nó hiệu quả hơn bất cứ phương pháp thông thường nào. Nếu tôi có thể, tôi sẽ ép cả thế giới đi tới đau khổ để đạt được sự thanh lọc căn nguyên của sự sống; tôi sẽ thổi lên một ngọn lửa cháy âm thầm ở ngọn nguồn của sự sống, không phải để phá hủy nó mà để cho nó một sinh lực mới mẻ khác thường, một hơi ấm mới mẻ. Ngọn lửa tôi thổi cho thế giới không đem tới sự hủy diệt mà là sự biến hình mênh mông. (cosmic transfiguration) Theo cách này sự sống sẽ điều chỉnh tới nhiệt độ cao và thế giới thôi không còn là môi trường thích hợp cho sự tầm thường nữa. Và có lẽ trong giấc mơ này, sự chết cũng thôi không là nội tại của triết học (immanent) trong cuộc sống nữa.

(Những dòng này được viết hôm nay, ngày $8$ tháng Tư năm $1933$, khi tôi vừa sang tuổi hai mươi hai. Thật kì lạ khi nghĩ rằng tôi là chuyên gia trong question of the death.)

Chú ý: những từ bôi đen trong văn bản là chưa dịch được hoặc chưa chắc chắn về bản dịch - mọi người bổ sung cho mình rất cảm ơn.

Emil Cioran, “The Passion for the Absurd”,  On the Heights of Despair.

Phạm Khoa Bằng dịch.

Niềm đam mê với cái phi lý - On the Heights of Despair

Không có lý lẽ nào. Có ai có thể chạm tới giới hạn đưa ra bởi lý lẽ, lý do, kết quả, đắn đo đạo đức và cứ thế? Chắc chắn không. Với những người như vậy chỉ có động lực thiếu cơ sở là duy nhất. (unmotivated motives) Trên đỉnh của sự tuyệt vọng, niềm đam mê với cái phi lý là thứ duy nhất vẫn thả thứ ánh sáng ma quỷ vào hỗn loạn. Khi tất cả những lý do hiện tại - đạo đức, mỹ học, tôn giáo, xã hội và cứ thế - không còn dẫn lối cho cuộc đời một con người, làm thế nào mà một người duy trì được cuộc sống mà không quỵ ngã trước hư vô? Bởi sự kết nối với cái phi lý, bởi tình yêu với cái vô dụng tuyệt đối, yêu một thứ không phải vật chất mà mô phỏng sự ảo tưởng của cuộc sống.




Tôi sống bởi vì những ngọn núi không cười và những con sâu không hát. Niềm đam mê với cái phi lý chỉ trỗi dậy ở người đã mất hết tất cả, nhưng vẫn còn khả năng trải nghiệm sự biến hình tuyệt vời. (undergoing awesome transfigurations) Cho những người đã để mất tất cả mọi thứ trong cuộc sống ngoại trừ niềm đam mê với cái phi lý. Cái gì trong cuộc sống có thể kích động những người như vậy? Những gì quyến rũ? (what seductions?) Vai người nói: tự hiến mình cho nhân loại, lợi ích chung, sùng bái cái đẹp, ... Tôi chỉ thích những người đã trải qua tất cả những điều đó - kể cả trong một thời gian ngắn. Chỉ họ mới từng sống trong trải nghiệm tuyệt đối. (absolute manner) Chỉ họ mới có quyền nói về cuộc sống. Bạn có thể lấy lại tình yêu và sự thanh thản. Nhưng bạn lấy lại nó bằng chủ nghĩa anh hùng (heroims) chứ không phải qua sự thiếu hiểu biết. Một sự tồn tại không che giấu một điều điên rồ là vô giá trị. Có gì khác giữa sự tồn tại của một viên đá, một mảnh gỗ hay một cái gì đó trụy lạc? Nhưng tôi nói với bạn: bạn phải giấu một điều điên rồ để muốn trở thành viên đá, gỗ hoặc trụy lạc. Chỉ khi bạn nếm tất cả những độc dược ngọt ngào của cái phi lý thì bạn mới hoàn toàn được thanh lọc, bởi vì sau đó bạn sẽ đẩy cái phủ định tới hình thái cực hạn của nó. (final expression) Và liệu có phải tất cả hình thái cực hạn là phi lý?

CÓ NHỮNG NGƯỜI chỉ được định mệnh cho phép trải nghiệm những thứ thuộc về vật chất, cho những ai mà bất cứ sự bất ngờ là một sự bất ngờ đau đớn và mọi trải nghiệm là một dịp tra tấn mới. Nếu ai đó đứng nói với tôi rằng những đau khổ đó có lý do chủ quan, liên quan đến tô điểm cá nhân cụ thể, tôi sẽ hỏi; liệu có tiêu chuẩn khách quan nào để đo lường đau đớn? Ai có thể nói chắc chắn rằng hàng xóm của tôi chịu đựng nhiều hơn tôi hoặc chúa Jesus đã chịu đựng nhiều hơn tất cả chúng ta? Không có tiêu chuẩn khách quan bởi vì chịu đựng đau khổ không thể bị đo lường bởi các kích thích ngoại hoặc (local irritation of organism), nhưng chỉ là cảm giác được phản chiếu trong ý thức. Than ôi, từ quan điểm này, chúng ta không thể đặt câu hỏi cho mọi giai cấp. Mỗi người ở lại với sự đau khổ riêng, điều mà anh ta tin là tuyệt đối và vô giới hạn. Chúng ta sẽ giảm đi bao nhiêu đau khổ cá nhân nếu chúng ta đã so sánh nó với tất cả đau khổ trên thế giới tính cho tới hiện tại, với những đau đớn thể chất kinh hoàng nhất và những sự tra tấn phức tạp nhất, những cái chết tàn tạo nhất và những sự phản bội đau đớn nhất, tất cả những người phong cùi, tất cả sự sống bùng cháy và bị bỏ đói cho tới chết? Không ai được an ủi vê sự đau đớn của anh ta bằng cách nghĩ tát cả chúng ta là người phàm, cũng như không ai trải qua đau đớn mà thật sự thoải mái với đau khổ của người khác trong quá khứ hoặc hiện tại. Bởi vì trong thế giới thiếu hữu cơ rời rạc này, cá thể được thiết lập để sống vẹn toàn đẩy đủ, mong muốn sự tồn tại của anh ta là tuyệt đối. Mọi sự tồn tại chủ quan là tuyệt đối với chính nó. Vì lý do này mỗi người sống như thể anh ta là trung tâm của vũ trụ hoặc trung tâm của lịch sử. Như vậy làm thế nào sự đau đớn của anh ta không trở thành tuyệt đối? Tôi không thể hiểu đau đớn của người khác để giảm đi đau đớn của tôi. Sự so sánh, trong những trường hợp này là bất tương quan (irrelevant), bởi vì đau khổ là interior state, nơi mà không ngoại tố nào có thể giúp.

Nhưng có một lợi ích tuyệt vời trong cô đơn của đau khổ. Điều gì xảy ra nếu một người có thể thể hiện đầy đủ đau khổ của anh ta trên khuôn mặt, nếu những đau đớn nội tâm của anh ta là khách quan trên khuôn mặt anh ta? Liệu chúng ta có thể tiếp tục giao tiếp? Liệu chúng ta có che mặt mình khi đang nói chuyện? Cuộc sống sẽ thật sự bất khả thi nếu vô chúng trải nghiệm chúng ta giấu trong minh được thể hiện hoàn toàn trên những đường nét của gương mặt chúng ta.

Không ai dám nhìn vào chính mình trong gương, bởi một sự kì cục, hình ảnh bi thảm sẽ pha lộn trên những đường viền của khuôn mặt anh ta với những vết ố và máu, vết thương sẽ không thể chữa lành, nước mắt không ngừng tuôn trào như dòng suối. Tôi sẽ trải nghiệm sự trụy lạc, ngạc nhiên, sợ hãi (voluptous awe) nếu tôi có thể thấy một ngọn núi lửa của máu, phun trào đỏ rực và cháy và cháy như tuyệt vọng, bùng nổ vào trung tâm của sự hài hòa thoải mái và hời hợt trong cuộc sống thường nhật, hoặc nếu tôi có thể thấy những vết thương của chúng ta mở ra, làm máu của chúng ta chảy mãi mãi. Chỉ khi đó chúng ta sẽ thật sự hiểu và trân trọng lợi ích của cô đơn, vốn làm câm lặng đau khổ của chúng ta và làm nó bất khả xâm phạm. Nọc độc rút ra từ đau khổ sẽ đủ để đầu độc toàn thế giới trong dòng chảy của máu, bùng nổ ra ngọn núi nửa của kiếp hiện hữu. Có rất nhiều nọc độc, rất nhiều độc, trong đau khổ!

CÔ ĐỘC THẬT SỰ là cảm giác biệt lập tuyệt đối giữa đất và trời. Không gì nên phỉ bánh sự chú ý từ những hiện tượng của biệt lập tuyệt đối: một trực giác sáng suốt và hoàn toàn sợ hãi sẽ hé lộ toàn bộ vở kịch của bản chất hữu hạn của con người đối mặt với cõi hư vô vĩnh hằng của thế giới. Những bước đi cô độc (solitary walks) - đồng thời cực kì fertile và nguy hiểm, cho cuộc sống nội tâm - chắc chắn chiếm một vị trí bằng một cách mà không gì che đậy được suy nghĩ của cô độc của sự biệt lập của con con người trong thế giới. Bước đi cô độc là có ích cho một quá trình dữ dội của việc đặt biệt nội tâm hóa trong đêm, khi mà không sự quyến rũ thông thường nào có thể trộm đi sự chú ý của một người. Sau đó những sự tiết lộ về thế giới tuôn ra từ góc sâu nhất của tâm hồn, từ nơi mà nó đã tự tách nó ra khỏi cuộc sống, từ vết thương của cuộc sống. Để chiếm ngự tâm hồn (achieve spirituality), người ta phải rất cô đơn. Rất nhiều chết trong sống và rất nhiều nhầm lẫn nội tâm. Cô đơn phủ định cuộc sống răng tâm hồn nở rộ trong những sự phân chia quan trọng (vital dislocations) trở nên hầu như không thể vượt qua (almost insufferable). Có phải nó không quan trọng rằng nhiều người có quá nhiều kinh hồn, người biết vết thương sâu đã tra tấn cuộc sống vào lúc tâm hồn khởi sinh, là những người sẽ dựng nó lại lần nữa? Người khỏe mạnh, béo, không có trực giác tối thiếu về tâm hồn là gì, người chưa bao giờ nếm trải sự tra tấn của cuộc sống và lý lẽ mâu thuẫn đau đớn (hoặc thuốc chống ung thư đau đớn; (gốc: the painful antinomies) tại khởi điểm của sự tồn tại, là những người vươn lên chống đối linh hồn (hoặc tinh thần, gốc spirit). Những người thật sự biết hoặc nó tha thứ trong tự hào hoặc coi đó là một tai họa. Không ai có thể thật sự hài lòng tận sâu trong đáy lòng anh ta với tâm hồn, một sự chuộc lại tai họa cho cuộc sống. Làm thế nào người ta có thể hài lòng với cuộc sống mà không có sự quyến rũ, ngây thơ và tự phát của nó? Hiện thực của tâm hồn chỉ định một mong muốn của cuộc sống, sự cô đơn lớn lao, và đau khổ kéo dài. Ai dám nói về sự cứu rỗi qua tâm hồn? Cuộc sống trên mặt phẳng vô thường tạo ra sự lo âu từ nơi người ta thoát ra khỏi tâm hồn, không có nghĩa là đúng. Ngược lại, điều đúng hơn nhiều là việc thông qua tâm hồn con người để đạt được sự bất cân bằng, sự lo ngại cũng như sự vĩ đại. Bạn mong chờ gì ở những người không biết hiểm họa của cuộc sống biết sự nguy hiểm của tâm hồn? Để tranh luận trường hợp tâm hồn là một dấu hiệu lớn của sự thiếu hiểu biết, chỉ cần làm như trường hợp cuộc sống là một dấu hiệu lớn của sự bất cân bằng. Với người bình thường, cuộc sống là một thực tế không thể chối cãi; chỉ người hâm mới được khai sáng bởi cuộc sống (or đời) và khen ngợi nó nên anh ta sẽ không sụp đổ. (or bại hoại) Vậy còn những người không thể ca ngợi cả cuộc sống lẫn tâm hồn thì sao?

Chú ý: những từ bôi đen trong văn bản là chưa dịch được hoặc chưa chắc chắn về bản dịch - mọi người bổ sung cho mình rất cảm ơn.

Emil Cioran, “The Passion for the Absurd”,  On the Heights of Despair.

Phạm Khoa Bằng dịch.

Về không muốn sống - On the Heights of Despair

Có những kinh nghiệm ta không thể vượt qua, mà sau những kinh nghiệm ấy ta cảm thấy chẳng còn chút ý nghĩa trong bất cứ điều gì. Một khi bạn đã đạt đến những giới hạn của sự sống, đã sống đến cùng cực của mọi thứ được bày ra ở những đường biên giới nguy hiểm ấy, cử chỉ thường nhật và khát vọng thông thường sẽ mất đi sức hấp dẫn mê hoặc. Nếu bạn tiếp tục sống thì đấy chỉ là nhờ vào khả năng đối tượng hóa của bạn, khả năng giải phóng mình của bạn, trong việc viết, khỏi áp lực vô tận. Sáng tạo là sự cứu rỗi nhất thời khỏi móng vuốt tử thần. \\

Tôi cảm thấy mình phải bùng nổ vì tất cả những gì sự sống mang lại cho tôi và vì viễn cảnh của cái chết. Tôi cảm thấy mình đang chết dần vì cô đơn, vì tình yêu, vì tuyệt vọng, vì hận thù, vì tất cả những gì thế giới này mang lại. Với mỗi kinh nghiệm tôi phình ra như một quả bóng được thổi căng quá khả năng chứa đựng của nó. Sự dồn nén hãi hùng nhất bùng nổ vào hư vô. Bạn lớn lên bên trong, bạn giãn ra một cách điên cuồng cho đến khi chẳng còn ranh giới nào, bạn chạm đến rìa ánh sáng, nơi ánh sáng bị đánh cắp bởi đêm, và từ sự mênh mông ấy như một cơn lốc man dại bạn bị ném thẳng vào hư vô. Sự sống sinh ra cả có và không, hứng khởi và trầm uất. Chúng ta là gì khi đối mặt với cái xoáy nước bên trong, thứ nuốt chúng ta vào sự phi lý? Tôi cảm thấy đời tôi nứt ra bên trong tôi từ quá nhiều dồn nén, quá nhiều sự mất cân bằng. Nó giống như một vụ nổ không thể nào khống chế, hất bạn lên không trung cùng với mọi thứ khác. Ở rìa sự sống bạn cảm thấy mình không còn là chủ nhân của sự sống bên trong bạn nữa, tính chủ quan chỉ là một ảo tưởng, và các lực lượng không thể nào kiểm soát đang sôi sục bên trong bạn, phát triển không theo một trung tâm cá nhân hay một nhịp điệu xác định, riêng biệt nào. Ở rìa sự sống mọi thứ chỉ là một cơ hội cho cái chết. Bạn chết vì tất cả những gì tồn tại và tất cả những gì không tồn tại. Mỗi kinh nghiệm trong trường hợp này đều là một bước nhảy vào hư vô. Khi đã sống mọi thứ sự sống mang lại cho bạn đến cực điểm của sự dồn nén cao nhất, bạn đạt đến giai đoạn bạn không còn có thể trải qua bất cứ điều gì, bởi vì chẳng còn lại gì. Ngay cả khi bạn chưa đi hết mọi khả năng của những kinh nghiệm ấy, chỉ cần sống những kinh nghiệm chính đến giới hạn của chúng là đủ. Và khi bạn cảm thấy mình đang chết dần vì cô đơn, tuyệt vọng, hay tình yêu, tất cả những gì mà bạn chưa trải qua tham gia vào dòng diễu hành buồn vô tận này.\\

Cảm giác bạn không thể sống sót qua những cơn lốc như vậy cũng bắt nguồn từ một sự hoàn tất trên một mặt phẳng thuần túy bên trong. Những ngọn lửa của cuộc đời cháy trong một chiếc lò kín nơi sức nóng không thể thoát ra. Những người sống trên một mặt phẳng ngoài thì được cứu ngay từ đầu: nhưng họ có gì để cứu khi họ không nhận thức được bất kỳ mối nguy hiểm nào? Cực điểm của kinh nghiệm trong dẫn bạn đến những khu vực nơi nguy hiểm là tuyệt đối, bởi vì sự sống nào mà hiện thực hóa một cách tự ý thức những gốc rễ của nó trong kinh nghiệm thì chỉ có thể phủ nhận bản thân. Sự sống quá hạn chế và quá rời rạc để chịu đựng những căng thẳng lớn. Chẳng phải mọi nhà thần bí đều cảm thấy họ không thể sống sau những lần xuất thần vĩ đại của mình hay sao? Họ có thể mong đợi được gì từ thế giới này, những người cảm nhận được, đằng sau những giới hạn thông thường, sự sống, sự cô đơn, tuyệt vọng, và cái chết?

Mọi thứ thật xa vời làm sao! - On the Heights of Despair

Tôi không hiểu tại sao chúng ta phải làm mọi thứ trên thế giới này, tại sao chúng ta phải có bạn bè, khát vọng, hy vọng và ước mơ. Không phải sẽ tốt hơn nếu chúng ta rút đến một nơi xa xôi của thế giới, nơi mà ta không còn nghe thấy tiếng ồn và sự phức tạp của thế giới nữa? Sau đó chúng ta có thể từ bỏ văn hóa và tham vọng; chúng ta sẽ mất tất cả và không nhận lại gì cả; vì có gì để nhận trong thế giới này? Có những người thấy lợi ích là không quan trọng, những người vô vọng và cô đơn. Chúng ta rất gần với người khác! Và tuy nhiên, kể cả khi chúng ta đã hoàn toàn cởi mở với những người khác, tận sâu trong tâm hồn của chúng ta, chúng ta thấy được bao nhiêu về số phận của chính mình? Chúng ta rất cô đơn trong cuộc đời đến nỗi chúng ta phải tự hỏi chính mình liệu sự cô đơn của việc chết dần không phải là một dấu hiệu về sự tồn tại của con người. Liệu có thể có bất kì sự an ủi nào vào thời khắc cuối cùng? Sự sẵn sàng sống và chết trong xã hội là dấu hiệu của một sự thiếu sót lớn. Chết ở một nơi nào đó một mình và bị bỏ rơi để bạn có thể chết mà không cần khoa trương, không bị ai nhìn thấy, điều đó tốt hơn cả ngàn lần. Tôi khinh bỉ những kẻ trên quan tài của họ cùng một tư thế để gây ấn tượng. Nước mắt chỉ cháy trong cô độc. Những người yêu cầu bạn bè họ vây quanh khi họ chết, họ làm vậy vì họ sợ hãi và không có khả năng sống một mình trong những giây phút cuối cùng của mình. Họ muốn quên đi cái chết vào thời khắc của cái chết. Họ thiếu một chủ nghĩa anh hùng vô hạn. Tại sao họ không khóa cửa và chịu đựng những cảm giác điên cuồng cùng với một sự sáng suốt và sợ hãi vượt quá mọi giới hạn?

Chúng ta bị cô lập khỏi mọi thứ! Nhưng liệu có phải mọi thứ đều là bất khả xâm nhập với chúng ta? Cái chết sâu và hữu cơ nhất là chết trong cô độc, khi mà ngay cả ánh sáng cũng trở thành một nguyên tắc của cái chết. Trong những thời khắc đó bạn sẽ bị tách khỏi cuộc sống, khỏi tình yêu, khỏi nụ cười, bạn bè và thậm chỉ là cả cái chết. Và bạn tự hỏi chính mình liệu có điều gì ngoài sự hư vô của thế giới và sự hư vô của chính bạn.

Emil Cioran, “How Distant everything is,” On the Heights of Despair 

Phạm Khoa Bằng dịch. 

Van der Corput Lemma

Let $k \geq 2$. Assume that $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is of class $C^k$ such that $\phi^{(k)}(x) \neq 0 \ \forall x \in [a,b]$. The ...