Chủ Nhật, 9 tháng 12, 2018

Định lý hữu hạn Serre và $p$-xoắn của nhóm $\pi_{n+2p-3}(S^{n})$

Trong Topo đại số cũng có vấn đề địa phương hóa, dĩ nhiên nó không đẹp đẽ và tổng quát như trong đại số giao hoán và đại số đồng điều. Nhưng cũng có một số lợi ích nhất định.

Với một số nguyên tố $p$ ta có thể địa phương hóa $\mathbb{Z}$ tại $p$ là $(\mathbb{Z}-p\mathbb{Z})^{-1}\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{p}$. Dĩ nhiên ta không thực sự quan tâm lắm tới tính chất đại số của vành mới này mà thông qua mô tả nó là vành con của $\mathbb{Q}$ gồm tất cả các phân số có mẫu không chia hết cho $p$. Với mỗi tập số nguyên tố $\mathbb{P}$ ta xét

$$\mathbb{Z}_{\mathcal{P}} = \bigcap_{p \in \mathcal{P}} \mathbb{Z}_{p} \subset \mathbb{Q}$$

là vành con của $\mathbb{Q}$ gồm tất cả các số nguyên tố có mẫu không chia hết cho bất cứ một số nguyên tố nào. Với mỗi nhóm abel $A$ ta có một ánh xạ $A \to A \otimes \mathcal{P}, a \mapsto a \otimes 1$. Tập đối ảnh $A \otimes \mathcal{P}$ có thể hiểu là $A$ sau khi bỏ hết đi các phần $p$-xoắn mà $p$ không thuộc $\mathcal{P}$. Ví dụ $A \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ là phần $p$-xoắn của $A$.

Nếu với mọi số nguyên tố $q$ không thuộc $\mathcal{P}$ mà ánh xạ $A \to A, a \mapsto qa$ là đẳng cấu thì ta có thể kiểm tra $A$ là một $\mathbb{Z}_{\mathcal{P}}$-module.

Định nghĩa $1:$ Một không gian $X$ được gọi là $\mathcal{P}$-địa phương nếu mọi nhóm đồng luân của nó là $\mathbb{Z}_{\mathcal{P}}$-module. Một ánh xạ $f: X \to X'$ gọi là $\mathcal{P}$-địa phương hóa nếu $X'$ là $\mathcal{P}$- địa phương và cảm sinh $f_{*,i}:\pi_{i}(X) \otimes \mathbb{Z}_{\mathcal{P}} \to \pi_{i}(X') \otimes \mathbb{Z}_{\mathcal{P}} = \pi_{i}(X')$ là đẳng cấu.

Một tính chất đại số có thể kiểm tra của $\mathbb{Z}_{\mathcal{P}}$-module là một dãy khớp $A \to B \to C \to D \to E$ là một dãy khớp với $A,B,D,E$ là $\mathbb{Z}_{\mathcal{P}}$-module thì $C$ cũng vậy. Như vậy một fibration $F \to E \to B$ mà hai không gian là $\mathcal{P}$-địa phương thì không gian còn lại cũng vậy. Định lý sau là kết quả quan trọng nhất trong bài viết này:

Định lý $1:$ Với mọi không gian $X$ tồn tại một $\mathcal{P}$-địa phương $X'$ của $X$. Kí hiệu $X'=X_{\mathcal{P}}$. Nếu $\mathcal{P}=\varnothing$ ta kí hiệu $X_{\mathbb{Q}}$.

Ta bỏ qua chứng minh mà tập chung vào ứng dụng của nó.

Định lý $2:$ Ta có một đồng luân $S^{2k+1}_{\mathbb{Q}}=K(\mathbb{Q},2k+1)$ và một fibration $K(\mathbb{Q},4k-1) \to S^{2k}_{\mathbb{Q}} \to K(\mathbb{Q},2k)$.

Nhận xét: định lý $2$ nhận định lý hữu hạn Serre là một hệ quả, ta sẽ dùng bổ đề sau để chứng minh định lý $2$

Bổ đề: Ta có vành đối đồng điều:

$$H^{*}(K(\mathbb{Q},n),\mathbb{Q})=\left\{\begin{matrix}
\mathbb{Q}[x], n=2k\\
\Lambda_{\mathbb{Q}}[x],n=2k+1
\end{matrix}\right. $$

Trong đó $x \in H^{n}(K(\mathbb{Q},n),\mathbb{Q})$ là phần tử sinh.

Chứng minh định lý $2:$

+ Nếu $n=2k+1$ thì ta có

$$K(\mathbb{Q},2k+1)=M(\mathbb{Q},2k+1)=S^{2k+1}_{\mathbb{Q}}$$

với $M$ là không gian Moore.

+ Nếu $n=2k$ thì ta xét ánh xạ $S^{2k}_{\mathbb{Q}} \to K(\mathbb{Q},2k)$ cảm sinh đẳng cấu trên nhóm $H_{2k}$. Ta convert ánh xạ này vào fibration và xét trang $E_{2}$ của dãy phổ. Ta thấy ngay thớ của nó phải là $K(\mathbb{Q},4k-1)$.

Định lý $3:$ Với $n \geq 3$ và $p$ là một số nguyên tố thì $p$-xoắn $\text{Tor}_{p}(i)$ của nhóm $\pi_{i}(S^{n})$ được tính như sau:

$$\text{Tor}_{p}(i)=\left\{\begin{matrix}
0, i < n+2p-3\\
\mathbb{Z}_{p},i=n+2p-3
\end{matrix}\right.$$

Áp dụng tính nhóm $\pi_{n+3}(S^{n}) = \pi_{10}(S^{7})$

Trước tiên để tồn tại $p$-xoắn trong $\pi_{i}(S^{7})$ thì $i \geq 7+2p-3=2p+4$. Nếu $i = 10$ tức là $p \leq 3$ hay $p=2,3$. Trong trường hợp $p=3$ ta có $3$-xoắn của $\pi_{10}(S^{7})$ là $\mathbb{Z}/3$. Ta sẽ tính $2$-xoắn của nó bằng $\mathbb{Z}/8$ và kết luận $\pi_{10}(S^{7})=\mathbb{Z}/24$.

Xét ba fibration từ tháp Postnikov của $S^{7}$:

$$K(\pi_{8}S^{7}=\mathbb{Z}/2,8) \to X_{8} \to K(\mathbb{Z},7)$$

$$K(\pi_{9}S^{7}=\mathbb{Z}/2,9) \to X_{9} \to X_{8}$$

$$K(\pi_{10}S^{7},10) \to X_{10} \to X_{9}$$

Fibration đầu tiên giúp ta tính đối đồng điều với hệ số trong $\mathbb{Z}/2$ và $\mathbb{Z}$ của $X_{8}$ từ đó vẽ trục ngang cho fibration thứ hai:

$$H^{12}(X_{8},\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2,H^{12}(X_{8},\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/4$$

$$H^{11}(X_{9},\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2,H^{12}(X_{9},\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/8$$.

Mấu chốt ở việc $H^{12}(X_{9})=\mathbb{Z}/8$ và fibration thứ ba cho ta một vi phân đi từ $d_{10}: \pi_{10}S^{7} \to \mathbb{Z}/8$ và là đẳng cấu module $2$. Như vậy phần $2$-xoắn của $\pi_{10}S^{7}$ là $\mathbb{Z}/8$.

Kĩ thuật tương tự dùng cho $S^{3},S^{4}$ để tính được một số nhóm như $\pi_{6}S^{3}=\pi_{1}^{s}=\pi_{2}^{s}=\mathbb{Z}/2$.

Tham khảo:

[1] Algebraic Topology, by Allan Hatcher.
[2] http://www-users.math.umn.edu/~hessx144/docs/honors.pdf

Thứ Bảy, 1 tháng 12, 2018

Lý thuyết tắc nghẽn - Obstruction theory

Ý tưởng về lý thuyết tắc nghẽn

Ý tưởng của lý thuyết tắc nghẽn rất cơ bản, và có lẽ bạn nào học topo đại cương sẽ từng gặp vấn đề nâng một ánh xạ $S^{1} \to X$ lên một ánh xạ $D^{2} \to X$. Ta thử xem xét việc xây dựng một ánh xạ liên tục giữa hai simplicial complex $X,Y$. Đầu tiên ở các $0$-xương của $X$ ta định nghĩa tùy ý. Tiếp đó nếu các đỉnh của $X$ vừa định nghĩa nằm trong cùng một thành phần liên thông của $Y$ thì việc mở rộng lên các $1$-xương của $X$ là có thể. Việc mở rộng từ $1$-xương lên $2$-xương ứng với việc định nghĩa các ánh xạ trên các tam giác của $X$ mà ở phần biên các tam giác là $1$-xương đã được định nghĩa. Như vậy mở rộng từ $k$-xương lên $(k+1)$-xương có thể là bất khả thi, tại bước mở rộng thứ $k$ bạn đã vô tình định nghĩa các phần tử trong $\pi_{k}(Y)$. Việc chỉ định này định nghĩa một tương ứng từ $C_{k}(X) \to \pi_{k}(Y)$ tức là một đối xích, các đối xích này tiếp tục định nghĩa các lớp đối đồng điều trong $H^{*}(X,\pi Y)$. Điều thú vị là khi các lớp đối đồng điều này bằng không ta sẽ có một cách mở rộng, ngược lại thì nó gọi là "tắc nghẽn"trong việc mở rộng.

Định lý Hurewicz bảo rằng nếu $X$ là $(n-1)$-liên thông thì $H_{i}(X) = 0\forall i \leq n-1$ và đồng cấu Hurewicz $h:\pi_{n}(X) \cong H_{n}(X)$ là đẳng cấu. Ta xem xét định lý hệ số phổ dụng:

$$H^{n}(X,\pi) = Hom(H_{n}(X),\pi) \oplus Ext(H_{n-1}(X),\pi)$$

Nếu $X$ là $(n-1)$-liên thông thì ta có $H^{n}(X,\pi) \cong Hom(H_{n}(X),\pi)$. Đặc biệt khi $\pi=\pi_{n}(X)$ thì ta có $H^{n}(X,\pi_{n}(X)) \cong Hom(H_{n}(X),\pi_{n}(X))$. Lớp cơ bản của $X$ là lớp $\imath_{n} \in H^{n}(X,\pi_{n}(X))$ tương ứng với nghịch đảo của đồng cấu Hurewicz $h^{-1} \in Hom(H_{n}(X),\pi_{n}(X))$. Và một biểu diễn đẹp đẽ cho đối đồng điều hệ số nguyên là việc $H^{n}(X,\pi) \cong [X,K(\pi,n)]$ trong đó $K(\pi,n)$ là không gian Eilenberg-Maclane. Lý thuyết tắc nghẽn cho ta một cách tiếp cận hay cho biểu diễn kiểu Brown này. :D

Tháp Postnikov

Ý tưởng của tháp Postnikov là mang cho ta một sự xấp xỉ của một không gian cho trước với bậc đủ lớn. Tháp Postnikov của không gian liên thông đường $X$ là một dãy các fibration liên tiếp ( fibration hiểu theo nghĩa đồng luân)

$$...X_{n} \to X_{n-1} \to ... \to X_{1}$$

Thỏa mãn:

$i)$ Có một ánh xạ $f_{n}:X \to X_{n}$ cảm sinh đẳng cấu trên $\pi_{i} \forall i \leq n$.

$ii)$ $\pi_{i}(X_{n})=0 \forall i > n$.

Từ đó ta thấy có các fibration $K(\pi_{n}X,n) \to X_{n} \to X_{n-1}$.

Định nghĩa: Giới hạn ngược $\underleftarrow{\lim} X_{n}$ của dãy $...X_{n} \to ... \to X_{2} \to X_{1}$ là không gian con của không gian $\prod X_{n}$ chứa tất cả các dãy $(x_{1},x_{2},...x_{n},...)$ mà $x_{n}=\text{Im}(X_{n} \to X_{n-1})(x_{n-1})$. Khái niệm giới hạn ngược của một dãy các nhóm cũng hoàn toàn tương tự.

Một số tính chất của tháp Postnikov

$1)$ Hoàn toàn tính toán thủ công ta thấy có một ánh xạ tự nhiên $\lambda: \pi_{i}(\underleftarrow{\lim} X_{n}) \to \underleftarrow{\lim} \pi_{i}(X_{n})$, ánh xạ này thậm chí là toàn ánh.

$2)$ Nếu $X$ là một CW-phức liên thông thì ánh xạ tự nhiên $X \to \underleftarrow{\lim} X_{n}$ là một đồng luân yếu. Nói chung không có hy vọng đây là một đồng luân vì $ \underleftarrow{\lim}X_{n}$ chưa chắc là một CW-phức.

$3)$ Tháp Postnikov bất biến chính xác tới một đồng luân dây chuyền.

$k$-bất biến của tháp Postnikov

Một fibration $F \to E \to B$gọi là chính - principal nếu nó có dạng sau:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}

F @>>> E @>>> B \\
@VVV @VVV @VVV \\
\Omega B' @>>> F' @>>> E' @>>> B

\end{CD}$$

Nếu tháp Postnikov của $X$ là chính tại mỗi vị trí $X_{n} \to X_{n-1}$ thì ta có tháp dạng sau:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}

K(\pi_{n}X,n) @>>> X_{n} @>{k_{n}}>> K(\pi_{n+1}X,n+2) \\
; @VVV \\
K(\pi_{n-1}X,n-1) @>>>X_{n-1} @>{k_{n-1}}>> K(\pi_{n}X,n+1)

\end{CD}$$

Tức là ta có mở rộng $K(\pi_{n}X,n) \to X_{n} \to X_{n-1} \to K(\pi_{n}X,n+1)$. Ánh xạ $k_{n}$ gọi là $k$- bất biến thứ $n$ của $X$. Theo định lý biểu diễn của đối đồng điều $k_{n}$ tương ứng với một lớp trong $H^{n+2}(X_{n},\pi_{n+1}X)$. Các $k$-bất biến cho ta cách xây dựng $X$ từ các không gian Eilenberg-Maclane của chính các nhóm đồng luân của $X$. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng tồn tại các $k$-bất biến. Một định lý chỉ ra rằng $X$ có các $k$-bất biến (hay tháp Postnikov là chính) khi và chỉ khi $X$ là không gian abel, tức là $\pi_{n}(X)$ là một $\mathbb{Z}\pi_{1}(X)$-module tầm thường. 

Vấn đề mở rộng một cặp CW $(W,A)$

Trong phần này ta giả sử $X$ là một không gian có các $k$-bất biến 

Cho một cặp CW $(W,A)$, ta biết nó là một cofibration? Nhưng điều này là không đủ, ta muốn điều gì đó tinh tế hơn. Giả sử ta có một ánh xạ $A \to X$ và ta muốn mở rộng lên $W \to A$. Ý tưởng của ta sẽ là mở rộng $A \to X_{n}$ lên $W \to X_{n}$. Để bắt đầu ta định nghĩa một ánh xạ hằng $W \to X_{0}$.

Ta thấy $X_{n}$ là kéo lùi (pullback) của fibration $PK(\pi_{n}X,n+1) \to K(\pi_{n}X,n+1)$ dọc theo ánh xạ $k_{n-1}$-bất biến $X_{n-1} \to K(\pi_{n}X,n+1)$.

$$\require{AMScd}
\begin{CD}

A  @>>> X_{n} @>>> PK(\pi_{n}X,n+1) \\
@VVV @VVV @VVV \\
W @>>> X_{n-1} @>{k_{n-1}}>> K=K(\pi_{n}X,n+1)

\end{CD}$$

Nếu ta nâng được từ $W$ lên $X_{n}$ thì hợp $W \to X_{n-1} \to K$ là đồng luân tầm thường - nullhomotopic do biểu đồ giao hoán và $PK$ là contractible. Ta đã có sẵn trong tay một đồng luân tầm thường $A \to X_{n} \to X_{n-1} \to K \Rightarrow A \to K$ và ta muốn một mở rộng nâng đồng luân tầm thường này lên $W \to K$. (lưu ý rằng một đồng luân tầm thường khi và chỉ khi nó phân tích được qua nón $A \to CA \to K$)

Ánh xạ $W \to K$ và đồng luân tầm thường $A \to K$ cho ta một ánh xạ $W \cup CA \to K$ với $CA$ là nón của $A$. Từ đó ánh xạ này định nghĩa một lớp

$$\omega_{n} \in H^{n+1}(W \cup CA,\pi_{n}X)= H^{n+1}(W,A,\pi_{n}X)$$

Định lý: Ta có thể nâng $A \to X_{n}$ lên $W \to X_{n}$ khi và chỉ khi $\omega_{n}=0$.

Chứng minh:

$(\Rightarrow):$ Giả sử có thể nâng được khi đó có một ánh xạ $CW \to K$, hiển nhiên nó là đồng luân tầm thường do $CW$ là contractible, ta chỉ việc hạn chế nó qua $W \cup CA \subset CW$.

$(\Leftarrow):$ Giả sử $\omega_{n}=0$, tức là ta có một đồng luân giữa $W \cup CA \to K$ và một ánh xạ hằng. Gọi $F: (W\cup CA) \times [0,1] \to K$ là đồng luân như vậy với $F_{1}=F(x,1)=c \forall x \in W \cup CA$. Theo lý luận ban đầu $F_{1}$ có thể mở rộng lên $CW \to K$. Tính mở rộng đồng luân của một cặp CW $(CW,W \cup A)$ áp dụng cho $G(x,t)=F(x,1-t)$ ta có thể nâng $F(x,t): W \cup CA \to K$ lên $F'(x,t): CW \to K$. Lúc này $F'(x,0):CW \to K$ là mở rộng của $F(x,0):W\cup CA \to K$.

Nếu ta luôn mở rộng được từ $A \to X_{n}$ lên $W \to X_{n}$ thì ta sẽ nhận được một ánh xạ tự nhiên $W \to \underleftarrow{\lim}X_{n}$ mở rộng ánh xạ $A \to X \to \underleftarrow{\lim}X_{n}$. Ta có thể coi $X \subset \underleftarrow{\lim}X_{n}=M$ bằng cách xét mapping cyclinder $X \to M$. Ánh xạ hạn chế $(W \to M)_{\mid A}$ tách qua $X$ nên nó cho ta một đồng luân của ánh xạ hạn chế này với một ánh xạ $A to X \subset M$. Mở rộng nó lên $W \to M$  cho ta một ánh xạ $(W,A) \to (M,X)$, bởi vì $X \to \underleftarrow{\lim}X_{n}$ là đồng luân yếu nên $\pi_{i}(M,X)=0 \forall i$. Điều này giúp ta có thể đồng luân (homotoped) toàn bộ $W$ vào $X$ dọc theo ánh xạ $A \to X$. Điều này kết thúc bài toán mở rộng của chúng ta.

Tham khảo:

[1] Algebraic Topology, by Allan Hatcher.
[2] Cohomology operations and applications in homotopy theory, by Mosher & Tangora.
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Obstruction_theory
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_extension_property





Thứ Tư, 21 tháng 11, 2018

Tổng kết vài thứ

Chả biết cơ may nào dẫn tớ đến với Topo đại số, từ ngày đầu tiên tớ vớ được cuốn topo đại cương của thầy Nông Quốc Chinh và cứ đọc. Tớ rất ấn tượng và không hiểu tại sao người ta có thể mô tả một cái cốc quai và một bánh doughnut biến đổi liên tục thành nhau. Hôm bữa vừa thấy facebook nhắc $4/2017$ mình đọc về định lý cơ bản của đại số với một chứng minh bằng topo. Thực sự những cảm giác học cái môn này rất khoái. Trong post này mình tổng kết vài kinh nghiệm và lộ trình.

Về phần tài liệu bạn có thể ở đây.

 - Trước khi bạn làm gì cũng phải có nền tảng, tức là đại cương. Nhưng theo mình topo đại cương chỉ cần nắm chắc các khái niệm không gian topo, ánh xạ liên tục, liên thông, compact. Cần nhắc lại rằng topo đại cương rất khó, ví dụ có hàng tá thứ người ta có thể làm mà mình chưa bao giờ nhớ được: định lý Tychonoff, định lý thác triển Tietze, bổ đề Urysohn, không gian paracompact, CW-complex,... nhưng theo mình cần dùng cái gì thì sau này bổ sung.

- Sau khi đủ nền tảng bạn có thể đọc ngay topo theo nghĩa hiện đại. Một là kiểu topo vi phân hai là kiểu topo đại số hoặc vài thứ cực kì abstract. Kiểu đầu kiếm cuốn nào na ná giống hình vi phân đọc. Kiểu sau thì cứ phạm trù hàm tử, đại số mà đọc. Vậy học topo đại số thì kiến thức đại số ở đâu? Theo mình cần nắm chắc đại số đại cương: một ít lý thuyết nhóm, vành, .... Còn lý thuyết phạm trù thì cứ từ từ đọc trong mọi sách topo đại số đều có. Nếu không ngại thì cứ sách Maclane mà đọc.

- Khi nhảy vào topo đại số thì một số chủ đề cần nắm vững:

+ Phạm trù, hàm tử, đại số đồng điều: một số bổ đề cơ bản, giới hạn, hàm tử dẫn xuất, địa phương hóa, ...

+ Các nhóm đồng điều: là công cụ cơ bản đầu tiên để bạn chứng minh một số định lý kiểu hình học - topo cổ điển, ...

+ Các nhóm đối đồng điều, vành đối đồng điều: tích cup, cap, slant, cross, ... và đối ngẫu Poincare là một hình dung hình học cực tốt. Vành đối đồng điều làm đối đồng điều có cấu trúc mạnh mẽ hơn hẳn đồng điều.

+ Các nhóm đồng luân: nhóm cơ bản, nhóm đồng luân. Nhóm cơ bản là một phần khó, cực kì khó nên nếu bạn không làm gì liên quan tới nó thì đừng nản vì theo kinh nghiệm bản thân mình chưa bao giờ nhớ mấy thứ đó. Nhóm đồng luân có thể đọc bằng cách xây dựng hình học hoặc xây dựng bằng phạm trù hàm tử.

+ Có trong tay vài công cụ bất biến đại số cơ bản việc tiếp theo là chọn một phạm trù tốt để làm topo, cụ thể có: phức hình, CW-phức. Vậy bạn có thể biết một số định lý cơ bản như Hurewicz, Freudental, Whitehead, xấp xỉ CW hoặc phức hình ... ( nhưng rất khó tiếp thu ). Tiếp đó một số không gian quan trọng bạn phải biết là các không gian Eilenberg-Maclane $K(G,n)$ và các không gian Moore $M(G,n)$.

- Tiếp theo là các chủ đề cao cấp hơn:

* Các lý thuyết đối đồng điều suy rộng:

+ Phân thớ vector và K-lý thuyết: đây là lý thuyết đối đồng điều suy rộng đầu tiên mà mình học. Bạn sẽ thấy nó ngon nghẻ hơn ít nhất vì bạn đã bắt đầu đưa giải tích và cấu trúc đại số tuyến tính vào. Vì lẽ này người ta hay gọi nó là Topo đại số tuyến tính. Bạn sẽ phải nắm bắt được một số bổ đề cơ bản của phân thớ vector, tiếp đó là định lý tuần hoàn Bott và phát triển nó thành một lý thuyết đối đồng điều, một số ứng dụng đã mở ra như định lý đại số chia và bài toán song song hóa mặt cầu.

+ G-phân thớ chính: tương tự như phân thớ vector nhưng nó chứa một cấu trúc tổng quát hơn, thường thì sẽ làm việc với các nhóm Lie nên mình cũng chưa tiếp xúc nhiều.

+ Lớp đặc trưng và J-đồng cấu: các lớp đặc trưng cơ bản như Stiefel Whitney, Euler, Chern, Potriagyn. Tiếp đó bạn có thể tiếp xúc với đẳng cấu Thom, bắt đầu có thể đọc về cobordism nếu bạn ngon về mảng giải tích. Các J-đồng cấu cho bạn một số thông tin địa phương của các nhóm đồng luân ổn định.

*Dãy phổ:

+ Dãy phổ đầu tiên cần đọc là Serre và xây dựng Dress của nó. Bạn bắt đầu tính được một số vành đối đồng điều cơ bản và tiếp thu các cách tiếp cận dãy phổ qua cặp khớp, phức kép, lọc.

+ Bắt đầu thấy sức mạnh của nó qua việc chứng minh đại số hóa các định lý kiểu topo cổ điển của CW-complex.

+ Định lý hữu hạn Serre.

+ Công trình của Serre và Borel về vành đối điều không gian Eilenberg-Maclane. Sau đó học tính một số nhóm đồng luân ổn định đầu tiên $\pi_{n+k}(S^{n}), \forall k \leq 7$.

+ Một số cách đầy đủ hóa và địa phương hóa không gian.

+ Một số dãy phổ: Eilenberg-Moore, Adam, dãy EHP, ...( cái này tớ chưa tới )

*Lý thuyết đồng luân ổn định hoặc không ổn định:

+ Cái này cao quá rồi, chắc kiếm cuốn của Adam mà đọc nhỉ dù tớ chưa đụng vào bao giờ.

*Đa tạp, topo chiều thấp, lý thuyết nút:

+ Cái này cũng quá xa với tớ, hic nhưng tớ cứ note ở đây.

Thứ Tư, 7 tháng 11, 2018

Vài nhóm đồng luân của mặt cầu

Trong blog này mình sẽ điền một số nhóm đồng luân của $S^{n}, n \geq 1$ vào bảng sau:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & \pi_{1} & \pi_{2} & \pi_{3} & \pi_{4} & \pi_{5} & \pi_{6} & \pi_{7}\\ \hline S^{1} & \mathbb{Z} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline S^{2} & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z} & \mathbb{Z/2} & C & A & B \\ \hline S^{3} & 0 & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z/2} & C & A & B \\ \hline S^{4} & 0 & 0 & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z/2} & C & \mathbb{Z} \times A \\ \hline S^{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z/2} & C \\ \hline S^{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z/2} \\ \hline S^{7} & 0 & 0 & 0  & 0 & 0 & 0 & \mathbb{Z} \\ \hline \end{array}$$

Định lý $1$: Nếu $n < m$ thì nhóm $\pi_{m}(S^{n}) = 0$, hơn nữa tập các lớp tương đương đồng luân của các ánh xạ $[S^{m},S^{n}]=0$.

Chứng minh:

Với $K$ là một simplicial complex ta gọi $|K|$ là không gian nền của nó, tức là hợp mọi simplex trong nó. Giờ gọi $K$ là $m$ - skeleton của một $(m+1)$ - simplex và $L$ là $n$ - skeleton của một $(n+1)$ - skeleton thì $|K|,|L|$ có thể gọi là $S^{m},S^{n}$ ( lần lượt ). Với mỗi $f:|K| \to |L|$ ta có thể xấp xỉ nó bằng một ánh xạ $\phi_{f}:Sd^{q}K \to L$. Do $\text{dim} Sd^{q}K = \text{dim} K = m$ nên $\text{Im} \phi_{f} \subset |L^{(m)}|$ mà $n > m$ nên $\text{Im} \phi_{f} \subset L - pt$. Nhưng $S^{n} - pt$ cùn kiểu đồng luân với $\mathbb{R}^{n}$. Tức là $f$ cùng kiểu đồng luân với ánh xạ hằng.

Định lý $2$: ( định lý Hurewicz ) Giả sử $\pi_{i}(X) = 0 \forall 0 \leq X < n$ khi đó $H_{i}(X)= 0 \forall 1 \leq q < n$ và $H_{n}(X) \cong \pi_{n}(X)$.

Chứng minh:

Ta sử dụng một kết quả well-know là nếu $X$ liên thông đường thì:

$$H_{1}(X) \cong \pi_{1}(X) / [\pi_{1}(X), \pi_{1}(X)]$$

 Chúng ta chứng minh bằng quy nạp:

Với $n = 2$, xét path-fibration $\Omega X \to PX \to X$ và dùng dãy phổ Serre của nó. Trang thứ hai của nó là $E^{2}_{p,q}=H_{p}(X,H_{q}(\Omega X))$. Khi $q=0$ ta có $\Omega X$ là liên thông đường do $\pi_{0}(\Omega X) = \pi_{1}(X) = 0$ nên $H_{0}(\Omega X) = \mathbb{Z}$.

Từ đó hàng $0$ của trang thứ hai $E^{2}_{p,0}= H_{p}(X)$ .

Cũng dễ thấy cột $0$ của trang thứ hai $E^{2}_{0,q}=H_{0}(X,H_{q}(\Omega X)) \cong H_{q}(\Omega X)$.

Xét vi phân $d^{2}_{2,0}: H_{2}(X) \to H_{1}(\Omega X)$. Vi phân này phải là đẳng cấu vì nếu không do:

$$E^{3}_{2,0} = \text{ker} d^{2}_{2,0}, E^{3}_{0,1} = H_{1}(X) / \text{Im} d_{2,0}^{2}$$

thì vài phần tử của $H_{2}(X)$ hoặc $H_{1}(\Omega X)$ sẽ tồn tại ở trang thứ ba. Nhưng theo cấu trúc của dãy phổ Serre là ở góc phần tư thứ nhất thì $E^{\infty}= E^{3}$. Tức là sẽ có một số phần tử tồn tại ở trang $E^{\infty}$; điều này không thể xảy ra do $PX$ là contractible nên ở trang $E^{\infty}$ ngoại trừ vị trí $(0,0)$ là $\mathbb{Z}$ thì còn lại đều là $0$.

Ta có:

$$H_{1}(\Omega X) = \pi_{1}( \Omega X) / [ \pi_{1}(\Omega X), \pi_{1}( \Omega X)]$$

Nhưng do $\pi_{1}(\Omega X) = \pi_{2}(X)$ nên:

$$H_{2}(X) = H_{1}(\Omega X)  = \pi_{2}(X)$$

Giờ nếu $n > 2$ là một số nguyên dương. Theo quy nạp ta có

$$H_{q}(\Omega X) =\pi_{q}( \Omega X) =  \pi_{q+1}(X) \forall q < n-1,H_{n-1}(\Omega X) = \pi_{n-1}(\Omega X) = \pi_{n}(X)$$

Vấn đề $H_{n-1}(\Omega X) = H_{n}(X)$ lập luận hoàn toàn tương tự trường hợp $n=2$ nhưng cho trang $E^{n}$.

Kết thúc chứng minh.

Kết hợp hai định lý ta có hệ quả:

Hệ quả 3: $\pi_{n}(S^{n}) = \mathbb{Z}$

Định lý $4$: $\pi_{n}(S^{1}) = 0 \forall n \geq 2$.

Chứng minh:

Xét không gian phủ quen thuộc $\mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to S^{1}$ với thớ $\mathbb{Z}$ là rời rạc. Ta biết rằng không gian phủ là một fibration yếu nên theo dãy đồng luân dài của Serre:

$$...\pi_{n+1}(\mathbb{Z}) \to \pi_{n+1}(\mathbb{R}) \to \pi_{n+1}(S^{1}) \to ...\pi_{1}(\mathbb{Z}) \to \pi_{1}(\mathbb{R}) \to \pi_{1}(S^{1})$$

Với $k\geq 1$ ta có $\pi_{k}(\mathbb{Z}) = \pi_{k}(\mathbb{R}) = 0$ nên $\pi_{n}(S^{1})= 0 \forall n \geq 2$.

Định lý $5$: $\pi_{k}(S^{3}) = \pi_{k}(S^{2}) \forall k \geq 3$. Nói riêng thì $\pi_{3}(S^{2}) = \mathbb{Z}$.

Chứng minh:

Xét Hopf fibration $S^{1} \to S^{3} \to S^{2}$ và dùng định lý $3$.

Định lý $6$: $$\pi_{n}(S^{4}) = \pi_{n}(S^{7}) \oplus \pi_{n-1}(S^{3})$$

$$\pi_{n}(S^{8}) = \pi_{n}(S^{15}) \oplus \pi_{n-1}(S^{7})$$

Chứng minh:

Xét Hopf fibration $S^{3} \to S^{7} \to S^{4}$ và $S^{7} \to S^{15} \to S^{8}$.

Định lý $7$: ( định lý treo Freudenthal ) Nếu $X$ là không gian $n$ - liên thông ( tức là $n$ nhóm đồng luân đầu tiên triệt tiêu ) thì ánh xạ:

$$X \to \Omega ( \Sigma X)$$

cảm sinh đồng cấu:

$$\pi_{k}(X) \to \pi_{k}(\Omega ( \Sigma X) )= \pi_{k+1}(\Sigma X)$$

Đồng cấu trên là đẳng cấu với mọi $k \leq 2n$ và là toàn cấu với $k=2n+1$.

Chứng minh:

Xem [4].

Hệ quả $8$: Nhóm đồng luân $\pi_{n+k}(S^{n})$ ổn định từ khi $n \geq k+2$.

Định lý $9$: $\pi_{n+1}(S^{n})=\mathbb{Z/2} \forall n \geq 3$ và $\pi_{n+2}(S^{n})=\mathbb{Z/2} \forall n \geq 2$. Nói riêng $\pi_{4}(S^{3}) = \pi_{4}(S^{2}) = \mathbb{Z/2}$.

Chứng minh: 

Ta bắt đầu từ việc $ \pi_{3}(K(\mathbb{Z},3)) = \mathbb{Z}$ nên tồn tại một phần tử sinh của nó là một ánh xạ nào đó $S^{3} \to K(\mathbb{Z},3)$ sinh ra nhóm này.

Bổ đề: Với mọi ánh xạ liên tục $f: A \to B$ tách qua không gian:

$$E_{f} = \left \{ (a,\gamma) \in A \times \text{Hom}([0,1],B): \gamma(0)=f(a) \right \}$$

thành $A \to E_{f} \to B$. Khi đó

$$A \to E_{f}, a \mapsto a$$
$$E_{f} \to B, (a,\gamma) \mapsto \gamma(1)$$

lần lượt là một đồng luân và một fibration.

Bằng bổ đề này ta có thể giả sử việc chọn $S^{3} \to K(\mathbb{Z},3)$ là một fibration với thớ là $X$. Khi đó ta có một ánh xạ nhúng tự nhiên $X \to S^{3}$. Ta lại dùng bổ đề để tách nó ra làm một fibration với thớ $F$, $F \to X \to S^{3}$. Dùng dãy đồng luân của Serre ra có:

$$... \to \pi_{n}(X)  \to \pi_{n}(S^{3}) \to  \pi_{n}(K(\mathbb{Z},3)) = 0 \to ...\pi_{4}(K(\mathbb{Z},3)) = 0$$
$$\to \pi_{3}(X) \to \pi_{3}(S^{3}) =  \pi_{3}(K(\mathbb{Z},3)) = \mathbb{Z} \to \pi_{2}(X) \to \pi_{2}(S^{3})=0 $$
$$\to \pi_{2}(S^{3}) \to  \pi_{2}(K(\mathbb{Z},3)) = 0 \to \pi_{1}(X) \to \pi_{1}(S^{3})=0$$

Từ đó suy ra $\pi_{n}(X) = \pi_{n}(S^{3}) \forall n > 3$ và $\pi_{n}(X) = 0 \forall 0 \leq X \leq 3$; nói riêng $X$ là $3$ - liên thông.

Tương tự cho $F \to X \to S^{3}$ ta thấy $F = K(\mathbb{Z},2)=\mathbb{CP}^{\infty}$ và do đó $K(\mathbb{Z},2) \to X \to S^{3}$.

Trang thứ hai của dãy phổ cho fibration này có $E^{p,q}_{2}=H^{p}(S^{3},H^{q}(K(\mathbb{Z},2)))$.

- Ở cột $p = 0$ ta có $E^{0,q}_{2} \cong H^{q}(K(\mathbb{Z},2)) = \mathbb{Z} \forall q= \text{even}$

- Ở cột $p=3$ cũng vậy.

- Ở các cột khác bằng $0$ hết.

Đặt $E^{0,0}_{2}=\mathbb{Z}1, E^{0,2}_{2}=\mathbb{Z}a, E^{3,0}_{2}= \mathbb{Z}x$. Từ đó bằng cấu trúc nhân của dãy phổ đối đồng điều Serre ta có:

$$E^{0,2k}_{2}=\mathbb{Z}a^{k},E^{3,2k}_{2} = \mathbb{Z}a^{k}x$$

 Vi phân đi từ $d^{3}:E^{0,2}_{2}\to E^{3,0}_{2}$ phải là đẳng cấu vì nếu không ta sẽ nhận một nhóm $H^{2}$ hoặc $H^{3}$ của $X$ mà không tầm thường, trái với tính $3$ - liên thông của $X$.
Vì thế sai khác một dấu $\pm$ ta giả sử $d_{3}(a)=x$. Lấy đạo hàm liên tiếp ta có $d_{3}(a^{n})= na^{n-1}x$. Ta kết luận:

$$H^{k}(X)=\left\{\begin{matrix}
\mathbb{Z}/n,k=2n+1\\
0,k=2n>0
\end{matrix}\right.$$

Định lý hệ số phổ dụng cho ta:

$$H_{k}(X)=\left\{\begin{matrix}
\mathbb{Z}/n,k=2n>0\\
0,k=2n-1
\end{matrix}\right.$$

Nói riêng $H_{4}(X) = \mathbb{Z}/2$ và $X$ là $3$ - liên thông nên theo định lý Hurewicz ta có $\pi_{4}(X)= \mathbb{Z}/2$. Ta lại biết $\pi_{k}(X) = \pi_{k}(S^{3}) \forall k \geq 4$. Hệ quả là $\pi_{4}(S^{3})=\pi_{4}(S^{2})=\mathbb{Z}/2$.

Sử dụng định lý $6$ và hệ quả $8$ ta suy ra một số điều:

$$\pi_{4}(S^{2})=\pi_{4}(S^{3})=\pi_{5}(S^{4})=...=\mathbb{Z}/2$$

$$\pi_{6}(S^{4})=\pi_{7}(S^{5})=...$$

$$\pi_{6}(S^{4}) = \pi_{5}(S^{3})$$

Để điền nốt các vị trí $C=\mathbb{Z}/2,A = \mathbb{Z}/12,B = \mathbb{Z}/2$ cần nhiều kiến thức hơn về các Toán tử Steenrod mà mình chưa tiện trình bày ở đây. ( sẽ điền sau )

Tham khảo:

[1] Algebraic Topology, by Allan Hatcher.
[2] Spectral sequences, by Allan Hatcher.
[3] An Introduction to Algebraic Topology, by Joseph J.Rotman.
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Freudenthal_suspension_theorem
[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres

Thứ Bảy, 3 tháng 11, 2018

Xây dựng của Dress cho dãy phổ Leray-Serre

Prerequisites:

+ Khái niệm dãy phổ.
+ Fibration và Serre fibration.

Bạn đọc có thể tìm ở phần tham khảo ở cuối bài.

Giới thiệu về dãy phổ Serre

Dãy phổ Serre, đôi khi gọi là dãy phổ Leray-Serre để vinh danh công trình sớm của Leray về dãy phổ Leray. Giới thiệu chút về lịch sử, thời tuổi trẻ Serre đã là một tài năng trẻ trong trường của Cartan; thời gian đầu ông làm việc về Topo đại số, giải tích phức nhiều biến và sau đó là đại số giao hoán và hình học đại số, lĩnh vực mà ông đưa ra một số kĩ thuật trong lý thuyết bó và đại số đồng điều. Trong luận văn của Serre ông đưa ra dãy phổ Leray-Serre liên kết với một fibration và cùng với Cartan dùng các không gian Eilenberg-Maclane để tính nhóm đồng luân của mặt cầu. Có lẽ đây là một trong các lý do giúp ông được giải Fields khi chỉ mới $27$ tuổi; tuổi trẻ nhất từ trước đến nay mà một người từng nhận giải Fields.

Dãy phổ Serre có hai phiên bản, đồi điều và đối đồng điều, trong bài viết này mình quan tâm tới đồng điều. Đối đồng điều thì dãy phổ có thêm cấu trúc tích cup; và do vậy có thể dùng để tính vành đối đồng điều.

Định lý 1: (Dãy phổ Serre) Giả sử $F \to E \to B$ là một fibration với $B$ là liên thông đường. Khi đó nếu $\pi_{1}(B)$ tác động tầm thường lên $H_{\bullet}(F,G)$ thì có một dãy phổ $(E^{r}_{p,q},d_{r})$ sao cho:

$i)$ $d_{r}:E^{r}_{p,q} \to E^{r}_{p-r,q+r-1}, E^{r+1}_{p,q}= Ker d_{r}/Im d_{r}$.
$ii)$ Trang giới hạn $E^{\infty}_{p,n-p}$ đẳng cấu với $F^{p}_{n}/F^{p-1}_{n}$ trong một lọc $0 \subset F^{0}_{n} \subset .... F^{n}_{n} = H_{n}(X,G)$ của $H_{n}(X,G)$.
$iii)$ $E^{2}_{p,q} \cong H_{p}(B,H_{q}(F,G))$

Nói cách khác dãy phổ này hội tụ $E^{2}_{p,q} \Rightarrow_{p} H_{p+q}(E)$

Để mình giải thích tác động của $\pi_{1}(B)$ lên $H_{\bullet}(F,G)$. Ta biết rằng với mỗi fibration $\pi:E \to B$ thì các thớ $F_{b}=\pi^{-1}(b)$ là cùng kiểu đồng luân trên mỗi thành phần liên thông đường của $B$. Nói riêng khi $B$ liên thông đường thì các thớ cùng kiểu đồng luân với một thớ cố định $F=F_{c}$. Với mỗi đường $\gamma: [0,1] \to B$ ta có nâng ( lift ) lên một đồng luân $L_{\gamma}: F_{\gamma(0)}\to F_{\gamma(1)}$. Khi ta lấy $\gamma(1)=\gamma(0)=c$ thì tương ứng $\gamma \to L_{\gamma}$ cảm sinh một đồng cấu từ $\pi_{1}(B,c) \to Aut(H_{\bullet}(F,G))$. Đây là một tác động nhóm, dãy phổ sẽ thú vị nếu tác động này tầm thường. Ví dụ trường hợp $\pi_{1}(B,c)=1$

Hệ địa phương

Khi bất cứ ai học đồng điều kì dị $H_{\bullet}(X,\mathbb{Z})$ hệ số trong $\mathbb{Z}$ thì hệ số này là cố định. Hệ địa phương và đồng điều với hệ số trong hệ địa phương là cách mở rộng hệ số một cách liên tục từ điểm này sang điểm khác nhưng vẫn bảo toàn một cấu trúc nhất định.

Định nghĩa 1: Poincare groupoid của một không gian topo $X$ là một phạm trù $\pi(X)$ mà các vật là các điểm của $X$ và với mọi hai điểm $x,y \in X$ ta có:

$$\text{Hom}(x,y) = \left \{\gamma:[0,1] \to X, \gamma(0)=x,\gamma(1)=y \right \} / \sim$$

Trong đó $\sim$ là quan hệ đồng luân đường. (relative homotopic). Như vậy ta thấy nếu $x \in X$ thì $\text{Hom}(x,x)=\pi_{1}(X,x)$ chính là nhóm cơ bản tại $x$.

Định nghĩa 2 : Một hệ các hệ số địa phương của các nhóm abel ( đôi khi còn gọi là phân thớ các nhóm abel ) là một hàm tử từ Poincare groupoid của một không gian Topo vào phạm trù các nhóm abel.

Dĩ nhiên các nhóm abel có thể thay bằng bất cứ phạm trù nào khác. Nhưng ở đây chỉ vậy là đủ. Mệnh đề sau là khá hiển nhiên.

Mệnh đề 1: Nếu $X$ là đơn liên thì mọi hệ địa phương các nhóm abel trên $X$ là đẳng cấu với một hệ địa phương hằng. ( hàm tử hằng )

Lưu ý rằng với mỗi fibration $\pi: E \to B$ ta có một hệ địa phương $\left \{ H_{n}(\pi^{-1}(b)) \right \}$. Điều này sẽ đóng vai trò hệ số trong phần tiếp theo.

Đồng điều với hệ số trong hệ địa phương

Cho trước một không gian Topo $X$ và một hệ địa phương phương $\mathcal{A} = \underline{A}$ trên $X$. Ta muốn xây dựng đồng điều với hệ số trên $\underline{A}$. Thực ra có rất nhiều cách xây dựng bằng phân thớ đôi và cấu trúc vành nhóm nhưng mình không tìm hiểu xa, và điều kiện giả sử cũng mạnh hơn; hơn nữa xây dựng mình trình bày ở đây sẽ tự nhiên hơn, nhắc lại rằng trong đồng điều hệ số cố định ( $\mathbb{Z}$ chẳng hạn ):

$$C_{n}(X,\mathbb{Z}) = \bigoplus_{ \sigma: \Delta^{n} \to X} \mathbb{Z \sigma}$$

Chúng ta sẽ modify định nghĩa này bằng cách:

$$C_{n}(X,\underline{A}) = \bigoplus_{\sigma: \Delta^{n} \to X} A_{\sigma_{0}} \otimes \sigma$$

Trong đó $\sigma_{0}=\sigma(0)$ trong đó $(v_{0},v_{1},...v_{n})=(0,1,...,n)$ là các đỉnh của simplex chuẩn $\Delta^{n}$ trong $\mathbb{R}^{n+1}$. Hơn nữa ta kí hiệu $\epsilon_{i}=\epsilon^{n}_{i}: \Delta^{n-1} \to \Delta^{n}$ là face-map thứ $i$. Tức là nó ánh xạ

$$(x_{0},...x_{n-1}) \mapsto (x_{0},...x_{i-1},0,x_{i},...x_{n-1})$$

Vấn đề duy nhất bây giờ là xác định các ánh xạ biên $\partial$ để $C_{n}(X,\underline{A})$ là một phức ( complex ). Và khi đó ta nghĩa đến $H_{n}(C_{\bullet}(X,\underline{A}))$. Lưu ý rằng ta luôn có:

$$(\sigma\epsilon_{i})(0) = \left\{\begin{matrix}
\sigma(0)=\sigma(v_{0}), i = 0\\
\sigma(1)=\sigma(v_{1}), i > 0
\end{matrix}\right.$$

Và như vậy công thức sau sẽ chứng minh điều đó:

$$d_{n}: C_{n}(X,\underline{A}) \to C_{n-1}(X,\underline{A})$$

$$g \otimes \sigma \mapsto \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}g \otimes \sigma \epsilon^{n}_{i}+ \mathcal{A}(tv_{0}+(1-t)v_{1})(g)\otimes \sigma \epsilon_{0}^{n}$$

Giải thích: Ở vị trí cuối $(i=0)$ chúng ta có đại lượng lạ như vậy vì không giống như $i>0$, ở đây $\sigma \epsilon_{0}$ gửi $0$ tới $\sigma(1)$ nên hệ số $g \in \mathcal{A}(\sigma(0))$ không nằm trong các hệ số của $C_{n-1}$.

Như vậy với một fibration có đồng điều trong hệ địa phương $H_{p}(X,\underline{H}_{q}(F))$.

Xây dựng của Dress cho dãy phổ Serre

Xây dựng này mang sử dụng mệnh đề rằng mọi phức đôi ( double complex ) đều cảm sinh ra hai dãy phổ hội tụ về $H(Tot)$ mà mình đã đề cập ở bài trước. Mục tiêu ta là xây dựng cả hai dãy phổ này rồi thấy rằng một dãy hội tụ thực sự về $H(Tot)$ với $H(Tot)=H(E)$, dãy còn lại ta sẽ chứng minh nó có trang thứ hai là $E^{2}=H(X,\underline{H})$.

Cho một fibration $\pi: E \to B$ với các thớ  $\pi^{-1}(b)=F_{b}$. Trước hết ta phát biểu lại dãy phổ Serre:

Cho $\pi: E \to B$ là một Serre fibration - tức là có tính nâng đồng luân với mọi cube $[0,1]^{n}$. Khi đó có một dãy phổ $\left \{E^{r},d^{r} \right \}$ trong góc phần tư thứ nhất với trang thứ hai $E^{2}_{p,q}=H_{p}(B,\underline{H_{q}}(F))$ sao cho:

$$E^{2}_{p,q}=H_{p}(B,\underline{H_{q}}(F)) \Rightarrow_{p} H_{p+q}(E)$$
Đặt:

$$\mathcal{S}_{p,q}= \left \{ (\sigma_{p,q}, \tau_{p,q}): \sigma_{p}: \Delta^{p} \times \Delta^{q} \to E, \tau_{p}: \Delta^{p} \to B, \pi \sigma_{p,q} = \tau_{p}pr(\Delta^{p} \times \Delta^{q} \to \Delta^{p}) \right \}$$.

Ở dạng biểu đồ:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
\Delta^{p} \times \Delta^{q} @>{\sigma_{p,q}}>> E\\
@V pr VV @V \pi VV \\
\Delta^{p} @>{\tau_{p}}>> B
\end{CD}$$

Xét hàm tử tự do

$$\mathcal{F}: \mathbb{Sets} \to \mathbb{Ab}$$

$$\left \{ a: a \in I \right \} \mapsto \bigoplus_{a \in I} \mathbb{Z}a$$

Áp dụng hàm tử ta đặt $K_{p,q}= \mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q})$ và định nghĩa hai ánh xạ biên:

$$d'_{p,q}: K_{p,q} \to K_{p-1,q}$$

$$(\sigma_{p,q},\tau_{p}) \mapsto \sum_{i=0}^{p}(-1)^{i}(\sigma_{p,q}(\epsilon^{p}_{i} \times id_{\Delta^{q}}), \tau_{p}\epsilon^{p}_{i})$$

$$d''_{p,q}:K_{p,q} \to K_{p,q-1}$$

$$(\sigma_{p,q},\tau_{p}) \mapsto \sum_{j=0}^{q}(-1)^{j+p}(\sigma_{p,q}(id_{\Delta^{p}} \times \epsilon_{i}^{q}),\tau_{p})$$

Bộ ba $(K,d',d'')$ lập thành một phức đôi - double complex. Trong khuôn khổ bài viết này mình sẽ chứng minh rằng dãy phổ thứ nhất $\left \{ ^{I}E^{r},d^{r} \right \}$ có trang thứ nhất $^{I}E^{1}_{p,q}= H_{q}(K_{p,\bullet}) = H''_{p,q}(K)$ ( đồng điều theo các cột ) là đẳng cấu với $C_{p}(B,\underline{H_{q}}(F))$ và xem xét các ánh xạ biên tác động ra sao trên các đối tượng này. Để cho gọn ta kí hiệu  $^{I}E^{r}=E^{r}$.

Ta tách:

$$\mathcal{S}_{p,q} = \coprod_{\tau_{p}:\Delta^{p} \to B} \mathcal{S}_{p,q}(\tau_{p})$$

Trong đó:

$$\mathcal{S}_{p,q}(\tau_{p})= \left \{ \sigma_{p,q}: \sigma_{p,q}:\Delta^{p} \times \Delta^{q}, \pi \sigma_{p,q}=\tau_{p}pr \right \}$$

Ta nhắc lại rằng nếu $\pi: E \to B$ là một Serre fibration thì $\widehat{\pi}: Map(I^{n},E) \to Map(I^{n},B)$ hoặc $\widehat{\pi}: Map(\Delta^{n},E) \to Map(\Delta^{n},B)$ đều là các Serre fibration. Xét pullback của biểu đồ sau, kí hiệu $F_{\tau_{p}}$ đồng thời là thớ tại $\tau_{p}$:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
F_{\tau_{p}} @>>> Map(\Delta^{p},E)\\
@VVV @V \widehat{\pi} VV \\
\left \{ * \right \} @>j>>Map(\Delta^{p},B)
\end{CD}$$

Trong đó $j(*) = \tau_{p}$. Ta đặt $\mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p})$ là tập tất cả các ánh xạ liên tục từ $\Delta^{q} \to F_{\tau_{p}}$. Bằng tính phổ dụng của pullback ta có thể định nghĩa một song ánh từ $\mathcal{S}_{p,q}(\tau_{p}) \to \mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p})$

Xét biểu đồ sau:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
F_{\tau_{p}} @>>> Map(\Delta^{p},E) @> \widehat{\pi} >> Map(\Delta^{p},B) \\
@VVV @VVV @VVV \\
F_{\tau_{p}(0)} @>>> E @> \pi >>B
\end{CD}$$

Ánh xạ ở hai cột bên phải gửi mỗi ánh xạ tới giá trị của nó tại đỉnh $0=v_{0}$. Ánh xạ bên trái là phép chiếu tương tự, đồng thời cả ba cột này đều là tương đương yếu. Như vậy $H_{\bullet}(F_{\tau_{p}(0)}) \cong H_{\bullet}(F_{\tau_{p}})$. Giờ ta có một song ánh

$$K_{p,q} = \bigoplus_{\tau_{p}:\Delta^{p} \to B} \mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p}))$$

Song ánh này cảm sinh sang một ánh xạ biên:

$$d''_{\tau_{p}}: \mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p})) \to \mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q-1}(\tau_{p}))$$

$$l \mapsto \sum_{i=1}^{q}(-1)^{i}l\epsilon^{q}_{i}$$

Đây chính là ánh xạ biên của phức,

$$\begin{align} H''_{p,q}(K) & = \bigoplus_{\tau_{p}: \Delta^{p} \to B} H_{q}(\mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p}), d''_{\tau_{p}}))  \\
                                                & = \bigoplus_{\tau_{p}:\Delta^{p} \to B} H_{q}(F_{\tau_{p}}) \\
                                                &  \cong \bigoplus_{\tau_{p}: \Delta^{p} \to B} H_{q}(F_{\tau_{p}(0)}) \otimes \tau_{p} = C_{p}(B,\underline{H_{q}}(F)) \end{align}$$

Như vậy trang thứ hai $E^{2}_{p,q}= H'_{p}H''_{q}(K) = H_{p}(C_{\bullet}(B,\underline{H_{q}}(F)))$

Vấn đề duy nhất là xem đẳng cấu này có tự nhiên không? Tức là biểu đồ sau giao hoán:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
\bigoplus_{\tau_{p}:\Delta^{p} \to B} H_{q}(\mathcal{F}_{\tau_{p}}) @> \cong >> \bigoplus_{\tau_{p}: \Delta^{p} \to B} H_{q}(\mathcal{F}_{\tau_{p}(0)}) \otimes \tau_{p}=C_{p}(B,\underline{H_{q}}(F))\\
@V \overline{d'}VV @V \delta VV \\
\bigoplus_{\tau_{p-1}:\Delta^{p-1} \to B} H_{q}(\mathcal{F}_{\tau_{p-1}}) @> \cong >> \bigoplus_{\tau_{p-1}: \Delta^{p-1} \to B} H_{q}(\mathcal{F}_{\tau_{p-1}(0)}) \otimes \tau_{p-1} =C_{p-1}(B,\underline{H_{q}}(F))
\end{CD}$$

Ánh xạ $\delta$ là ánh xạ biên của đồng điều với hệ số địa phương. Lấy một cycle trong $H_{q}(F_{\tau_{p}})$ là $[l], d''_{\tau_{p}}(l)= 0$  ( $l: \Delta^{q} \to F_{\tau_{p}}$ ). Khi đó đẳng cấu trên thứ nhất trong biểu đồ biến $l$ thành $\widetilde{l} \otimes \tau_{p}$ với $\widetilde{l}: \Delta^{q} \to F_{\tau_{p}(0)}$ mà $\widetilde{l}(x)= l(x)(0)$.

+ Đi theo đường $\overline{d''}$ xuống dưới ta biến $[l]$ thành:

$$[\widetilde{l}\epsilon_{0}]+\sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}[\widetilde{l}\epsilon_{i}]$$

Đi dọc đường đẳng cấu ở dưới biến nó thành:

$$[\widetilde{l}_{0}]+\sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}[\widetilde{l}\epsilon_{i}] \mapsto \sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}[\widetilde{l}\epsilon_{i}] \otimes \tau_{p}\epsilon_{i}+ \mathcal{H}(tv_{0}+(1-t)v_{1})([\widetilde{l}\epsilon_{0}] \otimes \tau_{p}\epsilon_{0}) $$

Ngoài ra:

$$ \delta_{p}([\widetilde{l}] \otimes \tau_{p} )   = \sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}[\widetilde{l}\epsilon_{i}] \otimes \tau_{p}\epsilon_{i}+ \mathcal{H}(tv_{0}+(1-t)v_{1})([\widetilde{l}\epsilon_{0}] \otimes \tau_{p}\epsilon_{0}) $$

Vậy biểu đồ này giao hoán, tức là ta có đpcm.

Một ví dụ mà mình thích!

Ví dụ sau là tính nhóm đồng điều của không gian $\Omega(S^{n})$ với $n \geq 2$, được trang bị compact-open topology. Ta có một fibration $\Omega S^{n} \to P \to S^{n}$. Lưu ý path-space $P$ ở giữa luôn là contractible. Theo dãy phổ Serre và $S^{n}$ là đơn liên khi $n \geq 2$ thì trang $E^{2}_{p,q}$ chỉ khác không tại các cột $p=0,p=n$.

- Ở cột $p=0$ là các nhóm $H_{q}(\Omega S^{n} ,\mathbb{Z})$.

- Ở cột $p=n$ là các nhóm $H_{q}(\Omega S^{n}, \mathbb{Z})$.

Do path-space là contractible nên một lúc nào đó  khi $E^{\infty}$ thì mọi vị trí bằng $0$ trừ $p=q=0$.  Vi phân duy nhất có khả năng khác $0$ là $d_{n}$ nên $E^{2}=E^{3}=...E^{n}$ và $E^{n+1} = ... = E^{\infty}$

Các vi phân sẽ di chuyển theo bảng sau:


Vì các vị trí khác bằng $0$ hết nên trên trang $E^{n}$ chỉ còn lại các vị trí như trên bảng trên. Hơn nữa các vi phân này đều là đẳng cấu. Điều đó chứng minh:

$$H_{k}(\Omega S^{n},\mathbb{Z})= \left\{\begin{matrix}
\mathbb{Z}, \forall n-1 \mid k\\
0, otherwise
\end{matrix}\right.$$

Tham khảo:

[1] Spectral squence, by Allan Hatcher.
[2] A User's guide to spectral sequences, by John McCleary.
[3] http://ghethocly.blogspot.com/2018/10/mot-day-pho-la-mot-oi-tuong-ai-so-nhu.html
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Fibration

Thứ Tư, 31 tháng 10, 2018

Một dãy phổ là một đối tượng đại số, như một dãy khớp, nhưng phức tạp hơn.

Thật sự đây là một chủ đề khá khó, một công cụ tính toán chính của bất kì người nào học Topo đại số. Mình từng học một lớp master nửa kì, cô giáo bảo cái dãy phổ học không cẩn thận thì dễ tẩu hỏa nhập ma. Ngoài ra mình từng đọc dân ngoại đạo chia sẻ là dãy phổ là đặc sản chính của dân Topo đại số; người làm ngành khác thường có cách luồn lách để đỡ phải dùng dãy phổ. Mình đã thử học dãy phổ ba lần, hiện tại thì tàm tạm nhưng vẫn cực kì lởm khởm. Hôm nay viết blog này thử chia sẻ vài điều mình tổng hợp lại: bắt đầu với dãy phổ và sau đó đi vào xây dựng của Dress cho dãy phổ Serre - một công trình giúp Serre giành giải Fields khi ông mới $27$ tuổi. Tiếp đó là ứng dụng chứng minh một số định lý kinh điển như Hurewicz, tính một số nhóm đồng luân và vành đối đồng điều của một số không gian đặc biệt.

Dãy phổ lần đầu được khởi xướng bởi Jean Leray khi ông đưa ra khái niệm bó và phải đối mặt với bài Toán tính đối đồng điều bó. Điều mà giúp ông xây dựng nên cái ngày nay gọi là dãy phổ Leray. Câu chuyện thú vị là, tầm năm $1940-1945$ khi Leray đang là tù nhân chiến tranh thế giới thứ $II$; ban đầu ông ấy là một nhà Toán học ứng dụng nhưng vì không muốn bọn Nazis tận dụng khả năng của mình nên ông chuyển sang làm lý thuyết.

"A spectral sequence is an algebraic object, like an exact sequence, but more complicated." - Frank Adams.

Có ba cách tiếp cận chính của dãy phổ:

+ Bộ khớp ( exact couples ) - được giới thiệu bởi William Massey.
+ Dãy phổ của một lọc phức. ( filtered complex )
+ Dãy phổ của phức đôi. ( double complex )

Mình sẽ chọn cách tiếp cận khá đại số - dãy phổ của phức đôi và lọc, từ quan điểm hình học như CW-complex thì bạn nào đọc có thể tham khảo cuốn của Hatcher [3].

Định nghĩa: Một song bậc module $M = (M_{p,q})_{(p,q) \in \mathbb{Z}^{2}}$ là một họ các hai chỉ số các $R$ - module. Thường kí hiệu là $M_{\bullet \bullet}$.

Cho hai song bậc module $M_{\bullet  \bullet},N_{\bullet \bullet}$ và một cặp số nguyên $(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. Một ánh xạ song bậc $(a,b)$ $f: M \to N$ là một họ hai chỉ số các đồng cấu module $f_{p,q}:M_{p,q} \to N_{p+a,q+a}$. Kí hiệu $deg(f)=(a,b)$.

Định nghĩa: Một song bậc module cùng một vi phân song bậc $d: M \to M$ thỏa mãn $dd=0$ được gọi là một song bậc vi phân.

Định nghĩa: Một song bậc vi phân $(M,d)$ bậc $(a,b)$. Khi đó đồng điều của nó là các vật được nghĩa là:

$$H_{p,q}(M,d) = \frac{ker d_{p,q}}{Im d_{p-a,q-a}}$$

Một dãy phổ là một họ các song bậc vi phân $(E^{r}_{\bullet \bullet},d^{r})$ với vi phân $d^{r}$ có bậc $(-r,r-1)$; đồng thời $E^{r+1}_{p,q} \cong H_{p,q}(E^{r},d^{r})$. Đối tượng $E^{r}$ được gọi là trang thứ $r$ của dãy phổ này.

Một dãy phổ có thể xem là một họ các $(Z,B)$ mà:

$$B^{1} \subset B^{2} \subset ... \subset B^{n} \subset .... \subset Z^{n} \subset ... \subset Z^{2} \subset Z^{1} \subset E^{1}$$

Sao cho $E^{r+1} \cong Z^{r}/B^{r}$. Trang giới hạn của nó định nghĩa là:

$$E^{\infty}_{p,q} = \frac{Z^{\infty}_{p,q}}{B^{\infty}_{p,q}}= \frac{\cap_{r=1}^{\infty}Z^{r}_{p,q}}{\cup_{r=1}^{\infty}B^{r}_{p,q}}$$

Định nghĩa: Một phức đôi là một bộ ba $(M,d',d'')$ trong đó $d',d'': M \to M$ là hai ánh xạ song bậc $(-1,0),(0,-1)$ với $M$ là một song bậc module. Đồng thời $d',d''$ thỏa mãn điều kiện vi phân của một phức:

$$\left\{\begin{matrix}
d'd'=0\\
d''d'' =0\\
d'_{p,q-1}d''_{p,q}+d''_{p-1,q}d'_{p,q}=0
\end{matrix}\right.$$

Điều kiện cuối để đảm bảo đối tượng sau đây, là một phức:

Định nghĩa: Một phức đôi cảm sinh một phức toàn cục kí hiệu là $Tot(M)$ với vị trí thứ $n$ cho bởi

$$(Tot(M))_{n}) = \oplus_{p+q=n}M_{p,q}$$

Vi phân thứ $n$ của nó $D_{n}: (Tot(M))_{n} \to (Tot(M))_{n-1}$ được định nghĩa là:

$$D_{n} = \sum_{p+q=n}(d'_{p,q}+d''_{p,q})$$

Định nghĩa: Một lọc của một module $M$ là một họ các module con $(M_{n})$ thỏa mãn:

$$... \subset M_{n-1} \subset M_{n} \subset M_{n+1} \subset ...$$

đồng thời $M$ là hợp của họ module này.

Tương tự một lọc của một phức $\textbf{C}$ hoặc trong bất kì một phạm trù Abel nào; là một họ các phức con thỏa mãn:

$$... \subset F^{n-1}\textbf{C} \subset F^{n}\textbf{C} \subset F^{n+1}\textbf{C} \subset ...$$

Lọc được gọi là bị chặn nếu với mỗi $n$ tồn tại $s=s(n),t=t(n)$ sao cho $F^{s}M = 0, F^{t}M = M$.

Định lý: Mọi lọc cảm sinh một dãy phổ.

Cho trước một lọc $(F^{p}\textbf{C})$ của phức $\textbf{C}$ và kí hiệu $i^{p}: F^{p} \to \textbf{C}$. Khi đó nó cảm sinh một đồng cấu $i^{p}_{*}: H_{\bullet}(F^{p}) \to H_{\bullet}(\textbf{C})$ và lọc $\Phi^{p}H_{\bullet}(\mathcal{C})=i^{p}_{*}(H_{\bullet}(F^{p}))$ được gọi là lọc cảm sinh. Nếu $F^{p}$ là lọc bị chặn của $\textbf{C}$ thì lọc cảm sinh cho $H_{\bullet}(\textbf{C})$ cũng bị chặn.

Định nghĩa: Một dãy phổ $(E^{r},d^{r})_{r\geq 0}$ được gọi là hội tụ đến module định bậc $H$ nếu tồn tại một lọc bị chặn $\Phi^{p}H$ của $H$ sao cho:

$$E^{\infty}_{p,q} \cong \Phi^{p}H_{p+q} / \Phi^{p-1} H_{p+q}$$

Kí hiệu $E^{2}_{p,q} \Rightarrow_{p} H_{p+q}$. Lý do ta yêu cầu $E^{2}$ vì đây là trang hữu ích nhất khi hội tụ, định nghĩa chính xác xem ở [2]

Ví dụ:

$1)$ Nếu một lọc $(F^{p}\textbf{C})$ của một phức $\textbf{C}$ bị chặn, thì nó cảm sinh một dãy phổ hội tụ về đồng điều $H_{\bullet}(\textbf{C})$.

$2)$ Trong trường hợp phức toàn cục của một phức đôi $M_{\bullet \bullet} = M$ ta có hai lọc của nó định nghĩa như sau:

$$(^{I}F^{p}Tot(M))_{n} = \oplus_{i \leq p}M_{i,n-i}$$

$$(^{II}F^{p}Tot(M))_{n} = \oplus_{j \leq p}M_{n-j,j}$$

Một kết quả khá mạnh là cả hai lọc này đều bị chặn khi $M_{p,q}=0$ khi hoặc $p<0$ hoặc $q <0$, đồng thời cảm sinh hai dãy phổ đều hội tụ về $H_{\bullet}(Tot(M))$.

$3)$  Ví dụ này lấy ở đầu sách của Hatcher. Khi $X$ không gian topo sao cho là hợp của một họ các không gian con:

$$... \subset X_{p} \subset X_{p+1} \subset X_{p+1} \subset ...$$

Thông thường nếu $X$ là CW-complex ta lấy $X_{p}$ là skeleton thứ $p$ và $X_{p} = 0 \forall p<0$. Ta đặt $A^{1}_{n,p}=H_{n}(X_{p}), E^{1}_{n,p}=H_{n}(X_{p},X_{p-1})$. Khi hầu hết trừ ra một số hữu hạn số trên mỗi $A$ - cột là đẳng cấu ( hay trên mỗi $E$ - cột chỉ có hữu hạn vị trí khác không ). Như vậy trên mỗi đầu cột $A$ - cột có một giá trị trung mà ta gọi là $A^{1}_{n,-\infty}$ và ở cuối mỗi cột đó là $A^{1}_{n,\infty}$.

( ở đây một $A$-cột là một cột có dạng $... \to A^{1}_{n,p} \to A^{1}_{n,p+1} \to A^{1}_{n,p+2} ...$ )

Nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:

$i)$ $A^{1}_{n,-\infty}=0 \forall n$
$ii)$ $A^{1}_{n,\infty} = 0 \forall n$

( Ví dụ nếu $X$ là một CW-complex thì $A^{1}_{n,\infty}=H_{n}(X),A^{1}_{n,-\infty}=0$.)

thì $E^{\infty}_{n,p} \cong F^{p}_{n}/F^{p-1}_{n}$ với lọc $(F^{p}_{n})_{p\in \mathbb{Z}}$ của $A^{1}_{n,\infty}$ cho bởi $F^{p}_{n}=Im(A^{1}_{n,p} \to A^{1}_{n,\infty})$. ( tương ứng $F^{n-1}_{p} = Ker(A^{1}_{n-1,-\infty} \to A^{1}_{n-1,p})$. Như vậy dãy phổ định nghĩa bởi các skeleton hội tụ tới $H_{\bullet}(X)$.

Quay lại ví dụ thứ hai, ta sẽ chứng minh định lý sau, một kết quả quen thuộc trong đại số đồng điều nói rằng việc tính hàm tử $\text{Tor}$ từ giải thức xạ ảnh ở bất kì biến nào đều cho một kết quả. Việc này để thí dụ cho việc dãy phổ mạnh tới mức nào.

Ta định nghĩa một song bậc module là góc phần tư thứ nhất nếu $M_{p,q}=0$ bất cứ khi nào $p<0$ hoặc $q<0$. Khi đó ta có thể  lấy double homology trên từng cột - hàng và thu được $H'_{p}H''_{q}(M)$ và $H''_{p}H'_{q}(M)$, ta có hai dãy phổ:

$$^{I}E^{1}_{p,q}=H_{q}(M_{p,\bullet}), ^{II}E^{2}_{p,q}=H'_{p}H''_{q}(M) \Rightarrow_{p} H_{n}(Tot(M))$$

$$^{II}E^{1}_{p,q}=H_{q}(M_{\bullet,p}), ^{II}E^{2}_{p,q}=H''_{p}H'_{q}(M) \Rightarrow_{p} H_{n}(Tot(M))$$

Định nghĩa: Một dãy phổ $(E^{r},d^{r})$ gọi là sụp đổ ở trục $p$ nếu $E^{2}_{p,q}=0 \forall q \neq 0$ và sụp ở trục $q$ nếu $E^{2}_{p,q}=0 \forall p \neq 0$.

Định lý: Nếu dãy phổ $(E^{r},d^{r}) \Rightarrow_{p} H_{n}(Tot(M))$ hội tụ và sụp ở bất kì trục nào thì $E^{\infty}=E^{2}$. Nếu nó sụp ở cột $p$ thì $H_{n}(Tot(M)) \cong E^{2}_{n,0}$, ( tương ứng trục $q$ , $H_{n}(Tot(M)) \cong E^{2}_{0,n}$ ).

Chứng minh này khá dễ chỉ dựa vào định nghĩa.

Định lý: Nếu $\textbf{P}_{A},\textbf{Q}_{B}$ là hai giải thức xạ ảnh của hai $R$ - module $A,B$. Khi đó $\forall n \geq 0$ ta có:

$$H_{n}(\textbf{P}_{A} \otimes B) \cong H_{n}(\textbf{P}_{A} \otimes \textbf{Q}_{B}) \cong H_{n}(A \otimes \textbf{Q}_{B})$$

Chứng minh:

Cho hai phức dương $\textbf{A}=(A_{n}, d_{1}),\textbf{B}=(B_{n},d_{2})$ ( tức là $A_{n}=B_{n}=0 \forall n < 0$) ta có thể định nghĩa một phức đôi:

$$M_{p,q}=A_{p} \otimes B_{q}, d'_{p,q}=d_{1,p} \otimes 1_{B_{q}}, d''_{p,q}=(-1)^{p}1_{A_{p}} \otimes d_{2,q}$$

Với phức toàn cục là:

$$Tot(M) = \textbf{A} \otimes \textbf{B}$$
$$(Tot(M))_{n}=\sum_{p+q=n} A_{p} \otimes B_{q}$$

Vi phân toàn cục là:

$$D_{n}: (Tot(M))_{n} \to (Tot(M))_{n-1}$$

$$a_{p} \otimes b_{q} \mapsto d_{1}a_{p} \otimes b_{q} + (-1)^{p}a_{p} \otimes d_{2}b_{q}$$

Như vậy ta có $\textbf{P}_{A} \otimes \textbf{Q}_{B}$ có thể coi là phức toàn cục $(M,d',d'')$ của hai phức $\textbf{P}_{A},\textbf{Q}_{B}$. Ta nhìn vào $E^{1}_{p,q}=H''_{q}(M_{p,\bullet})$ là đồng điều thứ $q$ của cột thứ $p$ của phức toàn cục:

$$M_{p,\bullet}: ... \to P_{p} \otimes Q_{q+1} \to P_{p} \otimes Q_{q} \to ...$$

Do $\textbf{P}_{A}$ là giải thức xạ ảnh nên mọi cột $M_{p,\bullet}$ đều là khớp tại các vị trí $q>0$ ( do tensor với một vật xạ ảnh không làm thay đổi tính khớp ). Như vậy:

$$^{I}E^{1}_{p,q}= \left\{\begin{matrix}
0 \forall q > 0\\
P_{p} \otimes B, q = 0
\end{matrix}\right.$$

Như vậy:

$$^{I}E^{2}_{p,q}=H'_{p}H''_{q}(M)=\left\{\begin{matrix}
0 \forall q > 0\\
H_{p}(\textbf{P}_{A} \otimes B), q = 0
\end{matrix}\right.$$

Như vậy dãy phổ này sụp ở trục $q$ nên:

$$H_{n}(\textbf{P}_{A} \otimes \textbf{Q}_{B}) = H_{n}(Tot(M)) \cong ^{I}E^{2}_{n,0} \cong H_{n}(\textbf{P}_{A} \otimes B)$$

Tương tự:

$$H_{n}(Tot(M)) \cong H_{n}(A \otimes \textbf{Q}_{B})$$

Kết thúc chứng minh.

Trong bài viết sau mình sẽ trình bày hệ địa phương và xây dựng dãy phổ Serre bằng ngôn ngữ đại số đồng điều và phạm trù hàm tử. Xây dựng này của Dress trong bài báo của ông năm $1967$.

In next coming post, I will present local systems and Dress's construction for Serre spectral sequence which first appeared in his article in $1967$.

Tham khảo:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_sequence
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/spectral+sequence
[3] Spectral sequence, by Allan Hatcher.
[4] Introduction to homological algebra, by Joseph Rotman.
[5] A thesis I have downloaded from the Internet but forgot the link. :D

Chủ Nhật, 21 tháng 10, 2018

Sard's lemma and degree of proper maps

In this post, I concern to a feature of proper maps and their induced operations on de Rham cohomology groups with compact support.

Recall that

$$\Omega_{c}^{*}(U) = \left \{ C^{\infty} - function - with - compact-support \right \} \otimes_{\mathbb{R}} \Omega^{*}$$

Where $\Omega^{*}$ is a $\mathbb{R}$ - algebra generated by $dx_{1},...dx_{n}$ with the relations $(dx)^{2}=0, dx_{i}dx_{j}=-dx_{j}dx_{i}$.

These objects can be put in a chain complex for then induce a sequence of function, namely, cohomology with compact support, $H_{c}^{*}$. Poincare's lemma states that on a contractible manifold all closed forms are exact. It also has a similar version of cohomology with compact support and can be formulated as the following:

Poincare lemma for cohomology with compact support 

There is an isomorphism from $H_{c}^{*}( M \times \mathbb{R}) \to H_{c}^{*-1}(M)$ where $M$ is a nice kind of manifold.

The isomorphism can be formulated explicitly as the induced morphism by the projection:

$$\pi: M \times R^{1} \to M$$

in which $\pi^{*}$ send:

$$\left\{\begin{matrix}
\pi^{*}\phi f(x,t) \mapsto 0 & \\
\pi^{*} \phi f(x,t)dt \mapsto \phi \int_{-\infty}^{\infty}f(x,t)dt &
\end{matrix}\right.$$

Here $x \in M$ and $\phi, f$ are forms, the latter is required to has compact support.

And the inverse is a bit more complicated, let $e = e(t)dt$ be a compactly supported $1$ - form on $\mathbb{R}$ with total integral equals $1$ and define:

$$e_{*}: \Omega_{c}^{*}(M) \to \Omega_{c}^{*+1}(M \times \mathbb{R})$$

$$f \to f \wedge e$$

A straightforward computation shows that they are inverse of each other and then induce two isomorphisms.

A corollary of this kind of Poincare lemma is that $H_{c}^{*}(\mathbb{R^{n}}) = \mathbb{R}$ in dimension $n$ and $0$ otherwise. A generator of the above is a bump $n$ - form $\alpha(x)dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$ with total integral $1$ ( a smooth and compactly supported ).

Now a proper map is defined to be a map in which the preimage of any compact sets is compact. These maps behavior good with cohomology with compact support. Indeed, it induces a morphism, at least in $\mathbb{R^{n}}$ case: $f^{*}: H_{c}^{*}(\mathbb{R^{n}}) \to H_{c}^{*}(\mathbb{R}^{n})$. Of course, it carries a generator from the left side to a its multiple. This multiple is called its degree and equals:

$$deg f = \int_{\mathbb{R^{n}}} f^{*} \alpha $$

The most surprising is that this degree is an integer and to prove this fact we need Sard's lemma. To digress for a moment, in Algebraic Topology one could consider ordinary homology with coefficients in $\mathbb{Z}$ then a similar phenomenon naturally appear. The degree of a continuous completely determines its homotopy type.

Now recall that a critical point of a smooth map $f : \mathbb{R^{n}} \to \mathbb{R^{n}}$ is a point $p$ where the differential $(f_{*})_{p}: T_{p}\mathbb{R^{n}} \to T_{f(p)}\mathbb{R^{n}}$ ( tangent spaces ) is not surjective. Alternatively, it could be defined to a point where the Jacobian determinant vanishes. A point is not critical is call regular. The Sard's lemma asserts that the set of critical points has measure zero.

Sard's lemma 

Let $f: \mathbb{R^{n}} \to \mathbb{R^{m}}$ be a function of class $C^{k}, k \geq max(n-m+1,1)$. Denote $X$ to be the set of point $p$ at which the Jacobian matrix of $f$ has rank less than $min(m,n)$. Then $f(X)$ has measure zero $0$ in $\mathbb{R^{m}}$.

More generally, it holds even for second countable differentiable manifolds $M,N$ of dimension $m,n$, respectively. But in our content, it just demands $C^{1}$-class.

If $f: M \to N$ is a $C^{1}$ function between two $n$ - manifolds and $A \in M$ has measure $0$ then $f(A) \subset N$ has measure zero as well. ( note that the measure zero on manifold here was not  defined and be quite vague but we just prove for the original case )

Proof: For the case an open set $D \subset \mathbb{R^{n}}$ and a $C^{1}$ - function $f : D \to \mathbb{R^{n}}$ then the image $f(S)$ of the set of critical point $S$ of $f$ has measure $0$ because the case $(m,n)$ is much more technical. I interpret the simplest case to make the readers has a most basic visualization about it. This proof is due to Dr. Trinh Viet Duoc, faculty of mathematics, Ha Noi University of science on a discussion of  K62 honor mathematical class.

Since $D$ is open then it could be covered by a sequence of  cube rectangles $I_{1}, I_{2},...$ with some extra conditions $\overline{I_{k}} \in D \forall k$. Then

$$f(D) = \bigcup_{k=1}^{\infty} \phi(\overline{I_{k}})$$

We now work with $\phi(S_{k})$ ( $S_{k}$ is the set of critical points on $\overline{I_{k}}$ ). Let $P$ is partition of $\overline{I_{k}}$, and $S$ is a rectangle in $P$ with $S \cap S_{k} \neq \varnothing$. Then it manifestly exists a point $x_{0} \in S$ which satisfies $J_{f}(x_{0}) = 0$. Denote:

$$A(x_{0}) = \left \{ f'(x_{0})(x - x_{0}), x \in \mathbb{R}^{n} \right \} \subset \mathbb{R^{n}}$$

Then $A(x_{0})$ is a vector space of dimension less than $n$ so consequently has measure zero. For $x \in S$ we have:

$$\left \| f(x) - f(x_{0}) \right \| \leq \left \| Df(\zeta) \right \| \left \| x - x_{0} \right \| \leq 2Md(P)$$

where $M = max_{x \in \overline{I_{k}}} \left \| Df(x) \right \|$ ( it is finite because $\overline{I_{k}}$ is compact and $f $ is in class $C^{1}$ ) and $d(P)$ is diameter of $P$. Now let $L(x_{0})$ is a $(n-1)$ - dimensional vector space which contained $A(x_{0})$.

It now turns out that:

$$\left \| f(x) - f(x_{0}) - Df(x_{0})(x-x_{0}) \right \| \leq \epsilon \left \| x - x_{0}\right \| < 2\epsilon d(P)$$

by the definition of $Df$

$$d(f(x),f(x_{0})+L(x_{0})) \leq 2\epsilon d(P)$$

It follows that $f(S) \subset B_{S}$ where the latter is a cylinder with the height of $2\epsilon d(P)$ and bottom is a $(n-1)$-dimensional sphere in $L(x_{0})+ f(x_{0})$. Its volume is $C_{n}\epsilon d(P)^{n}$, so

$$f(S_{k}) \subset \bigcup_{S \cap S_{k} \neq  \varnothing} B_{S}$$

But it's crucial to point out that $B_{S}$ could be covered by a finite number of closed rectangles with total volume is less than a volume of $B_{S}$.

Finally, we finish this lemma by estimating by an inequality:

$$\sum_{S \cap S_{k} \neq \varnothing} v(B_{S}) = C_{n}\epsilon \sum d(P)^{n}$$

$$ = C_{n}\epsilon  \sum_{S \cap S_{k} \neq \varnothing} v(S) \leq C_{n}\epsilon v(I_{k})$$

Here we assumed that $P$ is a cube partition of $I_{k}$ then $d(P)$ was fixed and all subrectangle has a volume of $d(P)^{n}$.

Proposition: If $f: \mathbb{R^{n}} \to \mathbb{R^{n}}$ is a proper map then if it is not surjective then its degree is $0$.

Proof:

Since the image of a proper map is always closed. If $f$ misses a point $q$, it must miss some neighborhood of $q$. We could choose a bump $n$ - form $\alpha$ with support lies in this nbh. Then $f^{*}\alpha \equiv 0$ leads to $deg f =0$.

Now we back to prove the degree of a proper map is an integer. By Sard's lemma, almost all points are regular points. Pick one regular value $q$. By the hypothesis $f^{-1}(q)$ is nonempty. Now because in this case, two vector spaces have the same dimension then $f_{*}$ is surjective iff it's an isomorphism. The inverse function theorem then applies to shows that $f$ is a local diffeomorphism. It follows that $f^{-1}(q)$ is a discrete and then finite by the definition of proper maps, set:

$$f^{-1}(p) = \left \{p_{1},...p_{k} \right \}$$

We can take a nbh $U$ of $q$ and a nbh of $p_{i}, 1 \leq i \leq k$:

+ $U_{i} \cap U_{j} = \varnothing \forall i \neq j$.
+ $f^{-1}(U) = \bigcup_{i=1}^{k} U_{i}$
+ $f$ maps diffeomorphically $U_{i}$ onto $U$. ( using inverse function theorem ).
+ $U_{i},U$ are domain of some oriented charts.

Choose a generator $\alpha \in H_{c}^{*}(\mathbb{R^{n}})$ whose support is contained in $U$. Then the support of $f^{*}\alpha$ is in $\bigcup_{i=1}^{k}U_{i}$

$$\int_{\mathbb{R}^{n}}f^{*}\alpha = \sum_{i=1}^{k} \int_{U_{i}}f^{*}\alpha = \sum_{i=1}^{k} \pm \int_{U} \alpha \in \mathbb{Z}$$

The integral of forms with compact support is just that you extend that forms to the entire domain by setting its values to be $0$ everywhere except in its support.

This finishes our proof.

Reference:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sard%27s_theorem
[2] Bai giang giai tich, by Nguyen Duy Tien.
[3] Differential geometry, by M.Spivak.
[4] Differential forms in Algebraic Topology, by R.Bott & L.Tu

Định lý hữu hạn Serre và $p$-xoắn của nhóm $\pi_{n+2p-3}(S^{n})$

Trong Topo đại số cũng có vấn đề địa phương hóa, dĩ nhiên nó không đẹp đẽ và tổng quát như trong đại số giao hoán và đại số đồng điều. Nhưng...